2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Внедрение Логики в строимую теории (на примере множеств)
Сообщение04.01.2013, 09:03 
Аватара пользователя


29/05/11
227
Красноармейск, Донецкая обл.
Добрый день,

Вот уже который месяц задаюсь вопросом, но не могу на него найти ответ:
Каким образом происходит «внедрение» логики в ту теорию, которую мы строим?

Возьмём для примера теорию множеств, любимую. Есть несколько вариантов её построить. В любом случае, мы базируемся на представлении о том, что означают фразы «для любого x справедливо, что ...» и ей подобные, то есть у нас уже имеется некоторая построенная логика. Логику мы строим весьма абстрактно, опираясь на некоторый счетный алфавит символов переменных, содержание которых в рамках самой логики несущественно.
Моё непонимание связано с тем, как именно мы «вдыхаем» содержание в эти самые переменные, чтобы всё работало как надо. Иными словами, как именно мы объясняем формальной теории, что в одном случае квантором могут связываться только элементы, в другом случае — только множества, а в третьем случае — и то, и другое.

Я очень бы хотел, чтобы ответ базировался на NGB или на другом не-ZF варианте теории множеств, если можно.

Очень прошу не проходить мимо и ответить хотя бы что-нибудь полезное. Я мог вполне выразиться неудачно, или сумбурно, потому что примерно в этом месте в голове начинается каша. Матчасть я знаю слабо, поэтому прошу отсылать меня, по возможности, к полезной литературе по описанной проблеме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внедрение Логики в строимую теории (на примере множеств)
Сообщение04.01.2013, 11:08 


18/02/10
254

(Оффтоп)

С НГ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Внедрение Логики в строимую теории (на примере множеств)
Сообщение06.01.2013, 12:00 
Аватара пользователя


29/05/11
227
Красноармейск, Донецкая обл.

(Оффтоп)

И Вас также с прошедшим Новым годом и наступающим Рождеством!

Может кто-нибудь намекнуть, какую литературу стоит читать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внедрение Логики в строимую теории (на примере множеств)
Сообщение06.01.2013, 13:56 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Едва ли я понял суть вопроса, но почему бы не ответить, коли просят? :-)
Mysterious Light в сообщении #666894 писал(а):
как именно мы «вдыхаем» содержание в эти самые переменные, чтобы всё работало как надо.
«Работа» теории определяется выбором сигнатуры и аксиом (ну и правил вывода, которые обычно классические). Если сигнатура и аксиомы отвечают интуиции (содержанию), то и теоремы будут ей (ему) отвечать. Стало быть, «вдыхание содержания» осуществляется выбором сигнатуры и аксиом. Сигнатура и аксиомы какие надо $\Rightarrow$ всё работает как надо.
Mysterious Light писал(а):
как именно мы объясняем формальной теории, что в одном случае квантором могут связываться только элементы, в другом случае — только множества, а в третьем случае — и то, и другое.
Ну, во-первых, теория знать не знает о том, что мы подразумеваем под значениями переменных. Она просто работает, выводит теоремы из аксиом. А во-вторых, обычно рассматриваются теории, в которых нет разных сортов переменных. Так обстоит дело и с классической теорией множеств: коль скоро рядом с кванторами стоят переменные, причем все они -- одного сорта, а под значениями переменных мы подразумеваем множества, то квантоваться можно только по множествам. Этого вполне достаточно, если вовремя вспоминать, что элементы множеств, множества множеств, а также последовательности, функции и все прочее -- это тоже множества.
Mysterious Light писал(а):
Я очень бы хотел, чтобы ответ базировался на NGB или на другом не-ZF варианте теории множеств, если можно.
А вот одна из версий NGB -- как раз двухсортная. Там есть переменные двух сортов. Под значениями переменных одного сорта подразумеваются множества, а другого -- классы. Но это все -- неформально; теория опять-таки не в курсе, что мы там подразумеваем. Она, знай себе, теоремы выводит.

P.S. Почти уверен, что на вопрос я не ответил. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Внедрение Логики в строимую теории (на примере множеств)
Сообщение06.01.2013, 18:31 
Аватара пользователя


14/03/11
39
Поищите
Introduction to Categories and Categorical
Logic
Samson Abramsky and Nikos Tzevelekos

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group