Всеукраинская студенческая олимпиада, Севастополь-2007

[dm]

Всеукраинская олимпиада по математике для студентов технических университетов
Севастопольский национальный технический университет
15-18 мая 2007

(М - математические специальности, Т - технические специальности, С - экономические, аграрные и др. специальности)

Задача 1М (6 баллов).
Вычислить определитель $\Delta _n =\left| {a_{ij} } \right|$, где $a_{ij}=x_i $, если $j=i$ и $a_{ij}=b$, если $j\ne i$; $i=1,2,\ldots,n$, $j=1,2,\ldots,n$.

Задача 1Т (6 баллов).
Вычислить определитель $\Delta _n =\left| {a_{ij} } \right|$, где $a_{ij}=1+x_i $, если $j=i$ и $a_{ij} =1$, если $j\ne i$; $i=1,2,\ldots,n$, $j=1,2,\ldots,n$.

Задача 1С (6 баллов).
Вычислить определитель $\Delta =\left| {a_{ij} } \right|$, где $a_{ij} =1+x_i $, если $j=i$ и $a_{ij} =1$, если $j\ne i$; $i=1,2,\ldots,5$, $j=1,2,\ldots,5$.

Задача 2М (5 баллов).
Объем тетраэдра $DABC$ равен $V$. Точки $K$, $L$, $M$, $N$ такие, что $\overline {AK} =\alpha\, \overline {CA}$, $\overline {CL} =\beta\, \overline {BC}$, $\overline {DM} =\gamma\, \overline {AD} $, $\overline {DN} =\delta\ \overline {CD} $, где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta >0$. Найти объем тетраэдра $LKNM$.

Задача 2Т (5 баллов).
Объем тетраэдра $DABC $ равен $V$. Точки $K$, $L$, $M$, $N$ такие, что $\overline {AK} =\overline {CA} $, $\overline {CL} =2\,\overline {BC} $, $\overline {DM} =\overline {AD} $, $\overline {DN} =2\,\overline {CD} $. Найти объем тетраэдра $LKNM$.

Задача 2С (5 баллов).
Объем тетраэдра $DABC $ равен $V$. Точки $K$, $L$, $M$, $N$ такие, что $\overline {AK} =\overline {CA} $, $\overline {CL} =\overline {BC} $, $\overline {DM} =\overline {AD} $, $\overline {DN} =\overline {CD} $. Найти объем тетраэдра $LKNM$.

Задача 3М (4 балла), 3Т (5 баллов), 3С (6 баллов).
На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырех точках. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

Задача 4М (6 баллов).
Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых при любых $x,y\in\mathbb{R}$ выполнено равенство:

\[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y.\]

Задача 4Т (6 баллов).
Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых при любых $x,y\in\mathbb{R}$ выполнено равенство:

\[ f\left( {x+y} \right)-f\left( {x-y} \right)=2f\left( y \right)\cos x. \]

Задача 4С (5 баллов).
Найти все непрерывные функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых при любых
действительных $x\ne 1$ выполнено равенство $\left( {x-1} \right)f\left( {\frac{x+1}{x-1}} \right)-f\left( x \right)=x$.

Задача 5М (13 баллов).
Для всех значений действительного параметра $p>1$ решить уравнение:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \underbrace {x^{x^{.^{.^{.^x}}}}}_{\text{$n$ раз}}=p. \]

Задача 5Т (9 баллов).
Решить уравнение: $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \underbrace {x^{x^{.^{.^{.^x}}}}}_{\text{$n$ раз}}=4$.

Задача 5С (10 баллов).
Решить уравнение $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \underbrace {x^{x^{.^{.^{.^x}}}}}_{\text{$n$ раз}}=2$.

Задача 6М (5 баллов).
Доказать, что $\forall x\in \left( {0; \frac{\pi }{2}} \right)$ выполнено неравенство $\frac{2\cos x}{1+\cos x}<\frac{\sin x}{x}$.

Задача 6Т (5 баллов).
Выяснить, существует ли действительное число $x>0$ такое, что $x^e>e^x$.

Задача 6С(5 баллов).
Доказать, что $\forall x>0$ выполнено неравенство $e^x\geqslant x^e$.

Задача 7М (10 баллов), Т (11 баллов).
Пусть непрерывная функция $f:[0;1]\to [0;1]$ дифференцируема в промежутке $(0;1)$, причем $f(0)=0$ и $f(1)=1$. Доказать, что существуют такие числа $a,b\in (0;1)$, что $a\ne b$ и ${f}'(a)\cdot {f}'(b)=1$.

Задача 7С (9 баллов).
Доказать, что $\forall n\in N$ многочлен $P_n \left( x \right)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}$ не может иметь более одного действительного корня.

Задача 8М (8 баллов), Т(9 баллов), С(10 баллов).
Найти неопределенный интеграл $\int {\frac{dx}{\cos ^3x+\sin ^3x}} $.

Задача 9М (10 баллов), Т(11 баллов).
Решить дифференциальное уравнение:

\[ y^2(ydx-2xdy)=x^3(xdy-2ydx). \]

Задача 9С (11 баллов).
Решить дифференциальное уравнение: $\left( {y^4-3x^2} \right)dy+xydx=0$.

Задача 10М (8 баллов).
Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {\cos \left( {\pi \sqrt {n^2+n} } \right)} $.

Задача 10Т(8 баллов).
Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{1}{\sqrt n }\cos \left( {\pi \sqrt {n^2+n} } \right)} $.

Задача 10С (8 баллов).
Нужно перевезти железной дорогой 20 больших и 250 малых контейнеров. Один вагон вмещает 30 малых контейнеров, вес каждого из которых равен 2 тонны. Большой контейнер занимает место 9 малых и весит 30 тонн. Грузоподъемность вагона - 80 тонн. Найти минимальное число вагонов, которое нужно для перевозки всех контейнеров.

[Macavity]

dm писал(а):

Задача 3М (4 балла), 3Т (5 баллов), 3С (6 баллов).
На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырех точках. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

Эта задача подробно, в виде теоремы (необходимость и достаточность), рассмотрена в статье В.В. Прасолова. Теорема о пучке коник, проходящих через 4 точки (Третья серия сборников "Математическое просвещение", Выпуск 1, 1997 год). И что-то еще есть для кривых более высоких порядков - В.В.Прасолов, Ю.П.Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения.

[neo66]

Прасолов - супер! Но, видимо, подразумевалось доказательство вроде этого:

В некоторой системе координат наши параболы представимы в виде ($a > 0, c > 0)$:
$y=ax^2 + b;$
$x=cy^2 + d;$
Координаты 4-х точек удовлетворяют обоим этим уравнениям, а значит их сумме:
$ax^2-x + cy^2 -y +b +d = 0;$, которое является уравнением окружности.

Добавлено спустя 18 минут 58 секунд:

Re: Всеукраинская студенческая олимпиада, Севастополь-2007

dm писал(а):

Задача 5М (13 баллов).
Для всех значений действительного параметра $p>1$ решить уравнение:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \underbrace {x^{x^{.^{.^{.^x}}}}}_{\text{$n$ раз}}=p. \]

Задача сводится к иссследованию взаимного расположения графиков функций $y=a^x$ и $y=x$ для разных значениях параметра $a$.
Ответ:
При $p>e$ решений нет.
При $1<p\leq e, x = p^{\frac{1}{p}}$.

[Someone]

neo66 писал(а):

В некоторой системе координат наши параболы представимы в виде ($a > 0, c > 0)$:
$y=ax^2 + b;$
$x=cy^2 + d;$
Координаты 4-х точек удовлетворяют обоим этим уравнениям, а значит их сумме:
$ax^2-x + cy^2 -y +b +d = 0;$, которое является уравнением окружности.

Невнимательны Вы. У уравнения окружности коэффициенты при $x^2$ и при $y^2$ должны быть равны. Поэтому, вероятно, имелось в виду

$$c(ax^2+b-y)+a(cy^2+d-x)=0\text{.}$$

[Юстас]

neo66 писал(а):

Для всех значений действительного параметра $p>1$ решить уравнение:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \underbrace {x^{x^{.^{.^{.^x}}}}}_{\text{$n$ раз}}=p. \]

Задача сводится к иссследованию взаимного расположения графиков функций $y=a^x$ и $y=x$ для разных значениях параметра $a$.
Ответ:
При $p>e$ решений нет.
При $1<p\leq e, x = p^{\frac{1}{p}}$.

А Вы уверены, что при $x>1$ предел существует?

[neo66]

Голову на отсечение не дам.
Но, по моим расчетам, предел существует, если $1 <x\leq e^\frac{1}{e}$ и не существует, если $x>e^\frac{1}{e}$.

Добавлено спустя 2 минуты 27 секунд:

Someone писал(а):

neo66 писал(а):

В некоторой системе координат наши параболы представимы в виде ($a > 0, c > 0)$:
$y=ax^2 + b;$
$x=cy^2 + d;$
Координаты 4-х точек удовлетворяют обоим этим уравнениям, а значит их сумме:
$ax^2-x + cy^2 -y +b +d = 0;$, которое является уравнением окружности.

Невнимательны Вы. У уравнения окружности коэффициенты при $x^2$ и при $y^2$ должны быть равны. Поэтому, вероятно, имелось в виду

$$c(ax^2+b-y)+a(cy^2+d-x)=0\text{.}$$

Действительно, невнимателен. Спасибо.

[Macavity]

dm писал(а):

[b]Всеукраинская олимпиада по математике для студентов технических университетов

Задача 4С (5 баллов).
Найти все непрерывные функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых при любых
действительных $x\ne 1$ выполнено равенство $\left( {x-1} \right)f\left( {\frac{x+1}{x-1}} \right)-f\left( x \right)=x$.

Обозначим q(x)= \left{\frac{x+1}{x-1}}\right.
Заметим, что q(q(x))=x.
Тогда равенство можно переписать так V(x,f(x),f(q(x)))=0 $ (1) $

А если подставить вместо переменной x значение функции q(x), учитывая свойство q(x), получим следующее равенство: V(q(x),f(q(x)),f(x))=0 $ (2) $

Из этого неравенства при удачном стечении обстоятельств можно получить: f(q(x))=F(q(x),f(x))и этот результат можно подставить в (1).

Получим уравнение: V(x,f(x),F(q(x),f(x)))=0
И из него опять же можно выразить f(x).

В нашем случае: подставляем вместо x функцию \left{\frac{x+1}{x-1}}\right.
Получим: \left{\frac{2}{x-1}}\right f(x)-f\left({\frac{x+1}{x-1}}\right )= \left{\frac{x+1}{x-1}}\right
Отсюда f\left({\frac{x+1}{x-1}}\right )=\left{\frac{2}{x-1}}\right f(x)-\left{\frac{x+1}{x-1}}\right

Подставим f\left({\frac{x+1}{x-1}}\right ) в исходное равенство и после простых преобразований получим f(x)=2x+1, что и является решением, за исключением точки x=1.

[Юстас]

neo66 писал(а):

Но, по моим расчетам, предел существует, если $1 <x\leq e^\frac{1}{e}$ и не существует, если $x>e^\frac{1}{e}$.

Приведите, пожалуйста, Ваши расчеты. Интересно посмотреть.

[ИСН]

Да это ж известный факт (только нижний предел - не 1, а меньше).
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html

[neo66]

Юстас писал(а):

neo66 писал(а):

Но, по моим расчетам, предел существует, если $1 <x\leq e^\frac{1}{e}$ и не существует, если $x>e^\frac{1}{e}$.

Приведите, пожалуйста, Ваши расчеты. Интересно посмотреть.

Случай $0<x<1$ не рассматривал. Там требуются чуть более тонкие рассуждения.
Пусть $x>1$. Рассмотрим функцию $f(t)=x^t$. Тогда наша башня = $\underbrace{f(f(f\dots (x)))}_{\text{n}}$, т .е. $n$ раз проитерированной функции $f(t)$, начиная из точки $x$. Довольно очевидно из графиков, что если $x^t>t, \forall t>0$, то башня расходится. Если уравнение $x^t=t$ имеет решения при $t>0$, то предел существует и равен меньшему корню. Запишем его в виде $\ln x=\frac{\ln t}{t}$. Но $\frac{\ln t}{t} \leq \frac{1}{e}$, поэтому уравнение $\ln x=\frac{\ln t}{t}$ не имеет корней при $\ln x > \frac{1}{e} $, то есть при $x>e^\frac{1}{e}$ и предела нет. Соответственно, если $1<x\leq \frac{1}{e}$ предел существует. Пусть он равен $p$. Тогда $\ln x =\frac{\ln p}{p} $ и $x =p^\frac{1}{p}$.

Добавлено спустя 33 минуты 34 секунды:

Re: Всеукраинская студенческая олимпиада, Севастополь-2007

dm писал(а):

Задача 7С (9 баллов).
Доказать, что $\forall n\in N$ многочлен $P_n \left( x \right)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}$ не может иметь более одного действительного корня.

Тупо предположим, что есть такие корни . Обзовем их $a$ и $b$, и будем считать, что между ними нет других корней. Тогда $a,b<0$.
Поскольку $P_n(x) = P_n^{'}(x) + \frac{x^n}{n!}$, то производные
$P_n^{'}(a)= -\frac{a^n}{n!}$,
$P_n^{'}(b)= -\frac{b^n}{n!}$
имеют один знак, то есть или оба больше 0 или оба меньше 0, чего быть не может, потому, что не может быть никогда.
Приходим к противоречию.

[RIP]

neo66 писал(а):

dm писал(а):

Задача 7С (9 баллов).
Доказать, что $\forall n\in N$ многочлен $P_n \left( x \right)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}$ не может иметь более одного действительного корня.

Тупо предположим, что есть такие корни . Обзовем их $a$ и $b$, и будем считать, что между ними нет других корней. Тогда $a,b<0$.
Поскольку $P_n(x) = P_n^{'}(x) + \frac{x^n}{n!}$, то производные
$P_n^{'}(a)= -\frac{a^n}{n!}$,
$P_n^{'}(b)= -\frac{b^n}{n!}$
имеют один знак, то есть или оба больше 0 или оба меньше 0, чего быть не может, потому, что не может быть никогда.
Приходим к противоречию.

По-другому: общеизвестно (и тривиально доказывается по индукции), что при чётных $n$ $P_n(x)>0$ при всех $x\in\mathbb R$, а при нечётных --- $P_n$ (строго) возрастает на $\mathbb R$.

[RIP]

neo66 писал(а):

Случай $0<x<1$ не рассматривал.

Можно рассуждать так.
Пусть $x\in(0;1)$. Существует единственное $p\in(0;1)$, что $x^p=p$.
Рассмотрим $f(t):=x^{x^t}-t$, $g(t):=x^t+t$, $t_0:=\frac{\ln\ln\frac1x}{\ln\frac1x}$. $g(t)$ убывает на $(-\infty;t_0]$ и возрастает на $[t_0;+\infty)$, $g(t_0)=\frac1{\ln\frac1x}+t_0$.

Случай 1. $x\in[e^{-e};1)$. Тогда $g(t_0)\geqslant2t_0$, поэтому при $t\ne t_0$ $g(t)>2t_0$, т.е. $f'(t)<0$. Поэтому $f(t)$ убывает на $\mathbb R$, поэтому $p$ --- единственный корень $f(t)$.

Случай 2. $x\in(0;e^{-e})$, значит, $\ln\frac1x>e$, следовательно, $t_0\in(0;\frac1e)$. $g(0)>2t_0$, $g(t_0)<2t_0$, $g(1)>2t_0$, поэтому существуют $t_1\in(0;t_0)$ и $t_2\in(t_0;1)$ такие, что $g(t_{1,2})=2t_0$. Поскольку $g(t_1)>2t_1$ и $g(t_2)<2t_2$, то найдётся $t\in(t_1;t_2)$, что $g(t)=2t$. Очевидно, что $t=p$. $f(t)$ убывает на $(-\infty;t_1]$ и $[t_2;+\infty)$, и возратает на $[t_1;t_2]$. При этом $f(0)>0$, $f(t_1)<f(p)=0<f(t_2)$, $f(1)<0$. Поэтому найдутся $p_1\in(0;t_1)$ и $p_2\in(t_2;1)$, что $f(p_1)=f(p_2)=0$. При этом $p_1=x^{x^{p_1}}>x$.

Теперь вернёмся к пределу $\lim x^{x^{.{^{.^{.^x}}}}}$. Пусть $a_0=1$, $a_{n+1}=x^{a_n}$. По индукции $a_{2n}\geqslant a_{2n+2}\geqslant a_{2n+1}$ и $a_{2n-1}\leqslant a_{2n+1}\leqslant a_{2n}$. В частности, подпоследовательности $a_{2n}$ и $a_{2n+1}$ монотонны и ограничены, следовательно, сходятся. Обозначим их пределы $l_0$ и $l_1$ соответственно. В первом случае $l_0=l_1=p$, поскольку $f(l_0)=f(l_1)=0$. Во втором случае по индукции проверяется, что $a_{2n}\geqslant p_2$ и $a_{2n+1}\leqslant p_1$, поэтому $l_1=p_1<p_2=l_0$.

[RIP]

dm писал(а):

Задача 1М (6 баллов).
Вычислить определитель $\Delta _n =\left| {a_{ij} } \right|$, где $a_{ij}=x_i $, если $j=i$ и $a_{ij}=b$, если $j\ne i$; $i=1,2,\ldots,n$, $j=1,2,\ldots,n$.

$\Delta_n$ линеен по $x_n$ с коэффициентом $\Delta_{n-1}$ при $x_n$. При $x_n=b\qquad\Delta_n=b\prod\limits_{j=1}^{n-1}(x_j-b)$ (достаточно последний столбец вычесть из всех остальных), значит, $\Delta_n=(x_n-b)\Delta_{n-1}+b\prod\limits_{j=1}^{n-1}(x_j-b)$, поэтому

$$\Delta_n=\prod_{j=1}^n(x_j-b)+b\sum_{i=1}^n\prod_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n(x_j-b).$$

dm писал(а):

Задача 4М (6 баллов).
Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых при любых $x,y\in\mathbb{R}$ выполнено равенство:

\[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y.\]

Функция $g(x)=f(x)-f(\pi/2)\sin x$ удовлетворяет тому же уравнению, и $g(\pi/2)=0$. Подставляем $y=\pi/2$, получаем $g(x+\pi/2)+g(x-\pi/2)=0$, т.е. $g(x+\pi)=-g(x)$. Подставим $x=\pi/2$ в функц. ур-ие: $g(\pi/2+y)+g(\pi/2-y)=0$, или $g(\pi/2+y)=g(-\pi/2-y)$, т.е. ф-ия $g$ чётна. Подставляя $x=0$ в функц. ур., получаем $g(x)=g(0)\cos x$, значит, $f(x)=a\cos x+b\sin x$.

dm писал(а):

Задача 4Т (6 баллов).
Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых при любых $x,y\in\mathbb{R}$ выполнено равенство:

\[ f\left( {x+y} \right)-f\left( {x-y} \right)=2f\left( y \right)\cos x. \]

Аналогично, переходим к $g(x)=f(x)-f(\pi/2)\sin x$. Подставляя последовательно $y=\pi/2$, $x=\pi/2$, $x=0$, находим $g=0$, т.е. $f(x)=a\sin x$.

dm писал(а):

Задача 6М (5 баллов).
Доказать, что $\forall x\in \left( {0; \frac{\pi }{2}} \right)$ выполнено неравенство $\frac{2\cos x}{1+\cos x}<\frac{\sin x}{x}$.

При $x\in(\sqrt2;\pi/2)$ левая часть меньше $2\cos\sqrt2<\frac2\pi<\frac{\sin x}x$. При $x\in(0;\sqrt2]$ переписываем нер-во в виде $2x\cos x<\sin x+1/2\sin 2x$. Достаточно воспользоваться неравенствами $\sin\alpha>\alpha-\frac{\alpha^3}6$ и $\cos\alpha<1-\frac{\alpha^2}2+\frac{\alpha^4}{24}$ (\alpha>0).

dm писал(а):

Задача 8М (8 баллов), Т(9 баллов), С(10 баллов).
Найти неопределенный интеграл $\int {\frac{dx}{\cos ^3x+\sin ^3x}} $.

$$\frac23\arctg(\sin x-\cos x)+\frac{\sqrt2}3\ln\left|\tg(\pi/8+x/2)\right|+C.$$

dm писал(а):

Задача 10М (8 баллов).
Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {\cos \left( {\pi \sqrt {n^2+n} } \right)} $.

Поскольку $\cos\pi\sqrt{n^2+n}=\frac{\pi}8\frac{(-1)^n}n+O(1/n^2)$, то ряд сходится условно.

Добавлено спустя 18 минут 49 секунд:

dm писал(а):

Задача 7М (10 баллов), Т (11 баллов).
Пусть непрерывная функция $f:[0;1]\to [0;1]$ дифференцируема в промежутке $(0;1)$, причем $f(0)=0$ и $f(1)=1$. Доказать, что существуют такие числа $a,b\in (0;1)$, что $a\ne b$ и ${f}'(a)\cdot {f}'(b)=1$.

Была уже неоднократно.