вероятность события

[AndreyL]

--mS-- в сообщении #667539 писал(а):

Получится интеграл

$$F_{\frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2}} (x) = kC_{n}^{k}\int\limits_{-\infty}^x F^{k-1}(u) \left((1-F(u))^{n-k} - (1-F(2x-u))^{n-k}\right)\,dF(u).$$

Его можно увидеть у Большева - Смирнова в "Таблицы МС", формула (51) стр. 36.

Да! Спасибо! Попробую так, хотя это чуть более длинный путь. Но формула, которую я получил, немного косячит при нецелых $m$, похоже, что это связано с аппроксимацией факториала гамма-функцией.

[--mS--]

Вы так и не сказали, для чего Вам нужна функция распределения именно этой оценки. Не могу себе представить проблему, в которой не хватило бы просто распределений порядковых статистик.

[AndreyL]

Извиняюсь за молчание - вынужден был отвлечься.

--mS-- в сообщении #667703 писал(а):

Вы так и не сказали, для чего Вам нужна функция распределения именно этой оценки. Не могу себе представить проблему, в которой не хватило бы просто распределений порядковых статистик.

Исключительно для полноты решения задачи. Если точечная оценка квантиля не совпадает с элементом выборки, то закон ее распределения получается из закона распределения двух элементов этой выборки. Често говоря, я не совсем понял, как был сделан переход от плотности совместного распределения

$$f_{X_{(k)}, X_{(k+1)}}(u,\,v) =n(n-1)C_{n-2}^{k-1} f(u)f(v) F^{k-1}(u) (1-F(v))^{n-k-1}, \, u<v,$$

к интегралу

$$F_{\frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2}} (x) = kC_{n}^{k}\int\limits_{-\infty}^x F^{k-1}(u) \left((1-F(u))^{n-k} - (1-F(2x-u))^{n-k}\right)\,dF(u)$$

И возможно ли обобщить это интегральное решение на случай, когда точечная оценка квантиля получается как $a X_{(k)}+b X_{(k+1)}, a+b=1$?

[--mS--]

AndreyL в сообщении #669737 писал(а):

Исключительно для полноты решения задачи.

Какой задачи? Если задача состоит в отыскании функции распределения выборочного квантиля, то это пустая задача. Не на стенку же вешать эту ф.р.

AndreyL в сообщении #669737 писал(а):

Често говоря, я не совсем понял, как был сделан переход от плотности совместного распределения

$$f_{X_{(k)}, X_{(k+1)}}(u,\,v) =n(n-1)C_{n-2}^{k-1} f(u)f(v) F^{k-1}(u) (1-F(v))^{n-k-1}, \, u<v,$$

к интегралу

$$F_{\frac{X_{(k)}+X_{(k+1)}}{2}} (x) = kC_{n}^{k}\int\limits_{-\infty}^x F^{k-1}(u) \left((1-F(u))^{n-k} - (1-F(2x-u))^{n-k}\right)\,dF(u)$$

И возможно ли обобщить это интегральное решение на случай, когда точечная оценка квантиля получается как $a X_{(k)}+b X_{(k+1)}, a+b=1$?

Ну так запишите двойной интеграл от плотности по области $\{u+v<2x,\,u<v\}=\{-\infty<u<x,\,u<v<2x-u\}$ и проинтегрируйте внутренний интеграл по $v$, вот и всё. Разумеется, то же самое можно сделать и для любой линейной комбинации статистик. Всё, что изменится - вместо $2x-u$ в аргументе вычитаемого будет $\frac{x-au}{b}$.

[AndreyL]

Да, получилось, СПАСИБО большое!