длина дуги (интеграл)

[Sirian]

нужно найти длину дуги

\[ \begin{gathered} r = 1 + \cos (\varphi /2) \hfill \\ \end{gathered} \]

воспользовался формулой

\[ \begin{gathered} s = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 + (r')^2 } d\varphi } \hfill \\ \end{gathered} \]

получил

\[ \begin{gathered} s = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {(\cos (\varphi /2) + 1) (\cos (\varphi /2) + 5/3) } } d(\varphi /2) \hfill \\ \end{gathered} \]

как посчитать?

[Gordmit]

Не понял, как Вы перешли ко второму интегралу.
Если использовать формулы $1+\cos 2x=2\cos^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ (и, разумеется, основное тригонометрическое тождество), то $\cos\frac{\varphi}{4}$ выносится за знак корня, а под корнем остается только выражение, зависящее от $\sin\frac{\varphi}{4}$. Дальше все очевидно.

[Sirian]

под корнем:

\[ \begin{gathered} (1 + \cos (\varphi /2))^2 + \sin ^2 (\varphi /2)/4 = \hfill \\ = 1 + 2\cos (\varphi /2) + \cos ^2 (\varphi /2) + (1 - \cos ^2 (\varphi /2))/4 = \hfill \\ = (5 + 8\cos (\varphi /2) + 3\cos ^2 (\varphi /2))/4 \hfill \\ \end{gathered} \]

далее разложил на множители
и получил собственно то что в первом посте написано.

[Gordmit]

Ну если не хотите интегрировать так, как я указал в своем предыдущем сообщении (весьма просто!), то можете сделать в интеграле замену $x=\cos\frac{\varphi}{4}$, получится интеграл от дробно-линейной функции под корнем. Обозначая подкоренное выражение через $y$ и переходя в интеграле к переменной $y$, получите табличный интеграл.