Топология

[integral2009]

Помогите, пожалуйста, разобраться!
Доказать, что набор подмножеств является топологией для:

1) Дискретное пространство
2) Антидискретное пространство
3) Топология стрелка
4) Топология Зарисского на прямой

Привожу определение:

(ОПРЕДЕЛЕНИЕ)

Пусть $X$-произвольное множество. Топологией на множестве $X$ называется совокупность $\Delta$ его подмножеств, для которого выполнены условия:

А Объединение любого числа подмножеств $\Delta$, также принадлежит $\Delta$

В Пересечение любого конечного числа подмножеств $\Delta$, также принадлежит $\Delta$

С Пустое множество и $X$ принадлежат $\Delta$

1) Дискретное пространство. $\Delta$ - семейство всех подмножеств $X$. А как теперь проверить свойства?

2) Антидискретное пространство $\Delta=\{\varnothing;X\}$

A $\varnothing\cup X=X\in\Delta$

B $\varnothing\cap X=\varnothing\in\Delta$

C $X\in \Delta\;\;\;\;\varnothing\in \Delta$

3) ${R}_{\;\to}=[0;+\infty)$

$\Delta = \{\varnothing, X, \{A_\alpha\}\}$

$A_\alpha=(a;+\infty)$, где $a>0$ - некоторое число

A $\;\;\;\bigcap A_\alpha = (a_{\min};+\infty) \in \Delta$

B $\;\;\;\bigcap A_\alpha = (a_{\max};+\infty) \in \Delta$

C По определению выполнено.

4) Топология Зарисского. $X=\mathbb{R}$

$\Delta = \{\varnothing, \{A_\alpha\}\}$

$A_\alpha=\mathbb{R}\diagdown B_\alpha$

$B_\alpha$ - конечные подмножества прямой.

A Как проверить?

B Как проверить?

C по определению выполнено

[olenellus]

integral2009 в сообщении #666220 писал(а):

A $\;\;\;\bigcap A_\alpha = (a_{\min};+\infty) \in \Delta$

Во-первых, Вы, видимо, хотели напечатать $\bigcup A_\alpha = (a_{\min};+\infty) \in \Delta$
Во-вторых, $a_\min$ может не сущетсвовать Объединение-то любое. Чем его надо заменить?

Дискретная топлогия. Вам надо всего лишь проверить, что объединение любой совокупности подмножеств данного множества снова является подмножеством. Что пересечение любой конечной совокупности подмножество снова подмножество.

Топология Зарисского на $\mathbb{R}$. Смотрите, предложенные открытые множества представляют собой прямую с конечным числом выколотых точек. Вам следует посмотреть, что будет после объединения любой совокупности таких множеств (будет ли это снова прямая с конечным числом выколотых точке). Что будет после пересечения конечного числа таких множеств. Тут всё просто. Но, по-моему, ещё проще с этим примером разобраться в терминах аксиом топологии для замкнутых множеств. Там вообще всё прозрачно.

[integral2009]

olenellus в сообщении #666281 писал(а):

Во-первых, Вы, видимо, хотели напечатать $\bigcup A_\alpha = (a_{\min};+\infty) \in \Delta$
Во-вторых, $a_\min$ может не сущетсвовать Объединение-то любое. Чем его надо заменить?

Спасибо.

$\bigcup A_\alpha = (0;+\infty) \in \Delta$?!!

-- Ср янв 02, 2013 19:58:54 --

olenellus в сообщении #666281 писал(а):

Дискретная топлогия. Вам надо всего лишь проверить, что объединение любой совокупности подмножеств данного множества снова является подмножеством. Что пересечение любой конечной совокупности подмножество снова подмножество.

В том-то и дело, что это очевидно, потому не понятно -- как доказывать...

olenellus в сообщении #666281 писал(а):

Топология Зарисского на $\mathbb{R}$. Смотрите, предложенные открытые множества представляют собой прямую с конечным числом выколотых точек. Вам следует посмотреть, что будет после объединения любой совокупности таких множеств (будет ли это снова прямая с конечным числом выколотых точке).

Да, будет, будет прямая, в которой выколоты все те выколотые точки, которые были в подмножествах, которые мы объединяли.

Докажем через аксиомы для замкнутых множеств.

Докажем, что $\Delta=\{X,\varnothing, \{A_\alpha\}_{\alpha=1}^n\}$ - топология Зарисского на языке замкнутых множеств, а замкнутыми множествами назовем конечное число точек.

$A_{\alpha_1}=\{a_{11},a_{12},...,a_{1k_1}\}$

$A_{\alpha_2}=\{a_{21},a_{22},...,a_{2k_2}\}$
......
$A_{\alpha_n}=\{a_{n1},a_{n2},...,a_{nk_n}\}$

$\bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}=\{a_{11},a_{12},...,a_{1k_1},a_{21},a_{22},...,a_{2k_2}, ... ,a_{n1},a_{n2},...,a_{nk_n}\}}$ - конечное число точек.

Пересечением будет подмножество $\bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$, а значит там будет конечное число точек.

А если мы бы на языке замкнутых множеств доказывали, то нужно было бы использовать формулы Де-Моргана?

(на самом деле, я не до конца понял -- как доказывается равносильность определений на языке открытых и на языке замкнутых множеств...)

[integral2009]

(видимо написал что-то далекое от реальности)

[olenellus]

integral2009 в сообщении #666319 писал(а):

$\bigcup A_\alpha = (0;+\infty) \in \Delta$?!!

Нет. Рассмотрим следующее счётное объединение предложенных подмножеств:

$$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}{\left(1+\frac{1}{n},+\infty\right)}$$

$\min a_n$ не существует. Имеет ли данное объединение вид $(a,+\infty)$?

integral2009 в сообщении #666319 писал(а):

Докажем, что $\Delta=\{X,\varnothing, \{A_\alpha\}_{\alpha=1}^n\}$ - топология Зарисского на языке замкнутых множеств, а замкнутыми множествами назовем конечное число точек.

Это не топология Зарисского. На прямой с топологией Зарисского несчётно много как открытых, так и замкнутых множеств. Ну и ещё терминологическое замечание: топология — это (при любом подходе) совокупность открытых подмножеств.

integral2009 в сообщении #666319 писал(а):

$A_{\alpha_1}=\{a_{11},a_{12},...,a_{1k_1}\}$

$A_{\alpha_2}=\{a_{21},a_{22},...,a_{2k_2}\}$
......
$A_{\alpha_n}=\{a_{n1},a_{n2},...,a_{nk_n}\}$

$\bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}=\{a_{11},a_{12},...,a_{1k_1},a_{21},a_{22},...,a_{2k_2}, ... ,a_{n1},a_{n2},...,a_{nk_n}\}}$ - конечное число точек.

Верно.

integral2009 в сообщении #666319 писал(а):

Пересечением будет подмножество $\bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$, а значит там будет конечное число точек.

Во-первых, Вы опять спутали пересечение с объединением. А во-вторых, так не годится. Должно быть пересечение любой мощности.

Постойте... или Вы просто перевели то же самое на язык открытых подмножеств? Тогда Вам ещё надо доказать второе условие.

integral2009 в сообщении #666319 писал(а):

(на самом деле, я не до конца понял -- как доказывается равносильность определений на языке открытых и на языке замкнутых множеств...)

Тут используется простой факт (определение), что замкнутые подмножества — это дополнения открытых (и наоборот).

[integral2009]

olenellus в сообщении #666415 писал(а):

Нет. Рассмотрим следующее счётное объединение предложенных подмножеств:

$$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}{\left(1+\frac{1}{n},+\infty\right)}$$

$\min a_n$ не существует. Имеет ли данное объединение вид $(a,+\infty)$?

Ммм, да там ведь должны быть точная нижняя грань!!!!

$\bigcup A_\alpha = (\alpha;+\infty) \in \Delta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha=\inf(a)$

-- Ср янв 02, 2013 23:01:58 --

olenellus в сообщении #666415 писал(а):

Цитата:

Пересечением будет подмножество $\bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$, а значит там будет конечное число точек.

Во-первых, Вы опять спутали пересечение с объединением. А во-вторых, так не годится. Должно быть пересечение любой мощности.

Я имел ввиду, что $\bigcap\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i} \supset \bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$

А $\bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$ есть конечный набор точек, значит $\bigcap\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$ есть конечный набор точек

[olenellus]

integral2009 в сообщении #666421 писал(а):

Ммм, да там ведь должны быть точная нижняя грань!!!!

Правильно.

integral2009 в сообщении #666421 писал(а):

Я имел ввиду, что $\bigcap\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i} \supset \bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$

Аксиома требует пересечения совокупности замкнутых подмножеств любой мощности (совокупность любой мощности). А у Вас фигурирует пересечение лишь конечного их числа.

[integral2009]

olenellus в сообщении #666426 писал(а):

Аксиома требует пересечения совокупности замкнутых подмножеств любой мощности (совокупность любой мощности). А у Вас фигурирует пересечение лишь конечного их числа.

Спасибо. Я пусть мощность каждого подмножества $A_\alpha$ не больше, чем $m$, тогда пересчение $\bigcap\limits_{i=1}^n A_{\alpha_i}$ -- не больше, чем $mn$. А значит это будет конечное число точек. Верно? Можно ли так?

-- Ср янв 02, 2013 23:24:40 --

И как проверить еще аксиомы для дискретной топологии - пока что не знаю, несмотря на вашу подсказку((

Цитата:

Дискретная топлогия. Вам надо всего лишь проверить, что объединение любой совокупности подмножеств данного множества снова является подмножеством. Что пересечение любой конечной совокупности подмножество снова подмножество.

С чего здесь начать? Как описать множество $X$ и набор его подмножеств математически?

[olenellus]

integral2009 в сообщении #666429 писал(а):

Верно? Можно ли так?

Верно. Но так нельзя. Заметьте, что в аксиоме A (и в соответствующей ей аксиоме для замкнутых множеств) в "объединение любого числа..." ("пересечение..." в случае замкнутых множеств) под любым числом понимается любое кардинальное число.

integral2009 в сообщении #666429 писал(а):

С чего здесь начать?

Ну, можно начать с определения подмножества.

integral2009 в сообщении #666429 писал(а):

Как описать множество $X$ и набор его подмножеств математически?

Природа множества $X$ не важна. Множество всех его подмножеств обозначается $\mathscr{P}(X)$(или $\mathcal{P}(X)$). Его часто называют булеаном множества $X$. Что это такое, разберёмся, когда разберёмся просто с подмножеством.

[Someone]

integral2009 в сообщении #666421 писал(а):

$\bigcap\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i} \supset \bigcup\limits_{i=1}^nA_{a\pha_i}$

$$\bigcap\limits_{i=1}^nA_{\alpha_i}\subseteq\bigcup\limits_{i=1}^nA_{\alpha_i}$$

integral2009 в сообщении #666429 писал(а):

пусть мощность каждого подмножества $A_\alpha$ не больше, чем $m$, тогда пересчение $\bigcap\limits_{i=1}^n A_{\alpha_i}$ -- не больше, чем $mn$

Формально верно, но на самом деле

$$\left|\bigcap\limits_{i=1}^nA_{\alpha_i}\right|\leqslant|A_{\alpha_i}|\leqslant m.$$

[integral2009]

olenellus в сообщении #666482 писал(а):

Ну, можно начать с определения подмножества.

Я там случайно не в ту сторону просто поставил значок включения...

Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если любой элемент множества, принадлежащий $A$, также принадлежит $B$.

Формальное определение: $(A \subset B) \Leftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ).$

Someone в сообщении #666570 писал(а):

$$\bigcap\limits_{i=1}^nA_{\alpha_i}\subseteq\bigcup\limits_{i=1}^nA_{\alpha_i}$$

Точно, спасибо, я не в ту сторону включение поставил...

Someone в сообщении #666570 писал(а):

но на самом деле

$$\left|\bigcap\limits_{i=1}^nA_{\alpha_i}\right|\leqslant|A_{\alpha_i}|\leqslant m.$$

Точно, мощность пересечения меньше или равна мощности любого множества, участвующего в этом пересечении! Понял!

olenellus в сообщении #666482 писал(а):

Верно. Но так нельзя. Заметьте, что в аксиоме A (и в соответствующей ей аксиоме для замкнутых множеств) в "объединение любого числа..." ("пересечение..." в случае замкнутых множеств) под любым числом понимается любое кардинальное число.

Да, объединение любого числа, а пересечение конечного числа.

(Верно ли определение подмножества, можно ли дальше двинуться?)

[olenellus]

integral2009 в сообщении #666585 писал(а):

Верно ли определение подмножества, можно ли дальше двинуться?

Почти верно. Там ещё должен быть квантор всеобщности.

Теперь, в этих же терминах, что значит, что $B=\bigcup\limits_{i\in I}A_i$ ?
Если $\forall i(A_i\subset X)$, то будет ли $B\subset X$ ?

[integral2009]

olenellus в сообщении #666621 писал(а):

Теперь, в этих же терминах, что значит, что $B=\bigcup\limits_{i\in I}A_i$ ?
Если $\forall i(A_i\subset X)$, то будет ли $B\subset X$ ?

Будет, так как все $A_i$ содержатся в $X$, значит и их объединение содержится в $X$

$(A_i \subset X) \Leftrightarrow ( \forall x \in A_i \Rightarrow x \in X ).$

$(\bigcup\limits_{i\in I}A_i \subset X) \Leftrightarrow ( \forall x \in \bigcup\limits_{i\in I}A_i \Rightarrow x \in X )$, так как:

$$x \in \bigcup\limits_{i\in I}A_i \Leftrightarrow (x\in A_1\subset X)\vee (x\in A_2\subset X)\vee ...\vee (x\in A_n\subset X)\Rightarrow x\in \bigcup\limits_{i\in I}A_i \subset X $$

[integral2009]

Не уж-то это неверно?