VI Киевский математический фестиваль, Конча Заспа 2007

[V.V.]

dm писал(а):

V.V. писал(а):

Эту задачу не решила ни одна команда на фестивале.

Это было сюрпризом для жюри.

Для меня - нет.
Это некоторая абитурская техника, которой в 8-9-х нет.

Хотя эта задача была хорошим поводом для беседы с учениками.

Вообще, мне показалось, что 8-классникам на этих задачах было очень сложно.
Может, если у организаторов найдутся силы, делать отдельно экспресс для 8-х и для 9-х?
Да и командную физику, ИМХО, лучше разделить.

[незваный гость]

V.V. писал(а):

Для меня - нет.
Это некоторая абитурская техника, которой в 8-9-х нет.

Ну, не знаю. Достаточно возвести в четвертую степень, и получить, что сумма чевертых степеней равна 1, а значит, два члена из трех равны нулю (иначе есть хотя бы еще одно положительное слагаемое). Что в этом выходит за рамки 8-9 класса?

(«тоже мне, бином Ньютона», правда, буквально.)

[V.V.]

незваный гость писал(а):

:evil:

V.V. писал(а):

Для меня - нет.
Это некоторая абитурская техника, которой в 8-9-х нет.

Ну, не знаю. Достаточно возвести в четвертую степень, и получить, что сумма чевертых степеней равна 1, а значит, два члена из трех равны нулю (иначе есть хотя бы еще одно положительное слагаемое). Что в этом выходит за рамки 8-9 класса?

"За рамки" 8-9 класса ничего не выходит. Бином Ньютона, конечно, в обычных школах не проходится, но участники фестиваля его должны знать.

Тут есть две психологические трудности:
1) если решать через бином, то пугают три слагаемых;
2) очень пугает иррациональное уравнение.

P.S. Я, кстати, решал не через бином. Обозначим слагаемые через $a$, $b$, $c$ и заметим (опять же, ЗАМЕТИМ, есть у нас такая техника, решали мы аналогичные задачи), что
$a+b+c=1$,
$a^4+b^4+c^4=1$,
$0\leqslant a\leqslant 1$, $0\leqslant b\leqslant 1$, $0\leqslant c\leqslant 1$.

Из неравенств следует, что $a^4\leqslant a$, $b^4\leqslant b$, $c^4\leqslant c$. Следовательно,
эти три равенства достигается. Рассматриваем, например, третье. Получаем либо $c=0$, либо $c=1$, а отсюда находим $x$.