В тензерном виде...

[Yoxi]

Нужна помощь! В сферической системе координат имеет место выражение
{\it r}\dfrac{\partial}{\partial r}\Big(\frac{a_{\theta}}{r}\Big)+\frac{1}{r}\frac{\partial a_{r}}{\partial \theta}

где {\it a_{\theta}}, a_{r}- компоненты вектора a. Как записать данное выражение в произвольной правой ортогональной системе координат? (желательно представить ответ в тензорном виде с использованием дифференциальных операторов: rot, div, grad)

[Developer]

Ну, и сделайте обратное преобразование
$x = r Sin{\varphi} Cos{\theta}$
$y = r Sin{\varphi} Sin{\theta}$
$z = r Cos{\varphi}$
и да поможет Вам Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 (стр. 495)
Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2
Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3

[Хет Зиф]

Yoxi
В сферической системе координат $div \vec A = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr }(r^2 A_{r})+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{d}{d \theta}(A_{\theta}\sin \theta)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{d A_{\alpha}}{d \alpha}$
В произвольной ортогональной:
$(grad \varphi)_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}$
$div \vec A = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\left[\frac{\partial}{\partial q_{1}}(h_{2}h_{3}A_{1})+\frac{\partial}{\partial q_{2}}(h_{1}h_{3}A_{2})+\frac{\partial}{\partial q_{3}}(h_{1}h_{2}A_{3})\right]$

$h_{i}=\sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial q_{i}}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial q_{i}}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial q_{i}}\right)^2}$

Ротор и Лапласиан можете вывести сами

[Yoxi]

Developer
Мне нужно перейти в ПРОИЗВОЛЬНУЮ правую ортогональную систему координат, а не в декартову.

Хет Зиф
Эти формулки мне тоже прекрасно известны. Меня интересует, как будет выглядеть именно приведенное выражение в произвольных координатах.
Дело в том, что мне нужно записать данное выражение не в сферических, а, например в бисферических, тангенциально сферических или сфероидальных координатах. Для этого проще всего получить выражение в тензорном виде, используя вышеупомянутые дифференциальные операторы, поскольку эти операторы - инвариантны в любых криволинейных координатах.

[Brukvalub]

Попробуйте поискать ответ в книге: Зорич В.А. — Математический анализ (Часть 2)

[Zai]

У Вас записана компонента деформаций $\epsilon_{r\theta}
А. Ляв, Математическая теория упругости, 1935г., 676 с.
Стр. 67 - формула
Стр. 64,65 - компоненты деформации в ортогональных криволинейных координатах.

[Yoxi]

Zai
Огромное спасибо. Скорее всего так и есть. Теперь осталось разобратся с теорией деформаций.