Геометрическая вероятность

[noooob]

На плоскости расчерчена прямоугольная сетка, величина
ячейки $7\times 6$ ед. Определить вероятность того, что монета
диаметра 4, наугад брошенная на плоскость, не пересечет
ни одной прямой.

Событие $A$ - монета не пересечет ни одной прямой.

Монета диаметра 4 занимает квадрат размера $4\times 4$, то есть если данный квадрат пересечет линию - то же самое, что и данная монета пересечет линию.

тогда $P(A) = S(1) / S(2) $
где $S(1)$ - площадь квадрата, в который впишется данная монета
$S(2)$ - площадь ячейки

$S(1) = 4 \cdot4 = 16 $
$S(2) = 7 \cdot6 = 42 $
$P(A) = 16/42 = 0,38 $

[Aritaborian]

noooob в сообщении #664908 писал(а):

Монета диаметра 4 занимает квадрат размера 4х4

Нет, не занимает. Или у вас квадратная монета?

[noooob]

Пробовал использовать площадь окружности
т.е. $S(1) = \pi \cdot R^2$
и тогда $P(A) = 3.14 \cdot 4 / 42 = 0.29 $
но препод забраковала..
..и это решение тоже..

Нашел в интернете определение что в данном случае вероятность определяется как соотношение площадей. Или это не так?

[Aritaborian]

Соотношение каких площадей?

[noooob]

Кажется, что-то понял.
Нужно считать, что мы бросаем центр монеты.
Он должен попасть в отрезок (6 - 4) и (7 - 4)

$S(1) = (6 - 4) \cdot (7 - 4) = 6 $

тогда $P(A) = 6/42 = 1/7$

-- 28.12.2012, 23:51 --

Соотношение площади, в которую должна попасть точка, к всей выбранной площади. Как-то так..

[Aritaborian]

noooob, похоже на правду ;-)

[noooob]

спасибо за помощь))

[Aritaborian]

Подумалось тут вдруг, что постановка задачи, строго говоря, некорректна. Невозможно на бесконечную плоскость так бросать монету, чтобы попадание её центра в каждую точку плоскости было равновероятным.

[Лукомор]

Aritaborian в сообщении #664947 писал(а):

Невозможно на бесконечную плоскость так бросать монету, чтобы попадание её центра в каждую точку плоскости было равновероятным

Почему?!

[Maslov]

Лукомор в сообщении #665020 писал(а):

Aritaborian в сообщении #664947 писал(а):

Невозможно на бесконечную плоскость так бросать монету, чтобы попадание её центра в каждую точку плоскости было равновероятным

Почему?!

Для плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины должно выполняться условие нормировки:

$$ \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x, y) dx dy = 1$$

Равномерность распределения на всей плоскости ($f(x, y) = \operatorname{const}$) этому условию противоречит.

[Yu_K]

Maslov в сообщении #665049 писал(а):

Лукомор в сообщении #665020 писал(а):

Aritaborian в сообщении #664947 писал(а):

Невозможно на бесконечную плоскость так бросать монету, чтобы попадание её центра в каждую точку плоскости было равновероятным

Почему?!

Для плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины должно выполняться условие нормировки:

$$ \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x, y) dx dy = 1$$

Равномерность распределения на всей плоскости ($f(x, y) = \operatorname{const}$) этому условию противоречит.

Все прямоугольники идентичны и после того, как центр монеты попал в конкретный прямоугольник - для этого конкретного прямоугольника понятие плотности вполне корректно.

[Maslov]

Yu_K в сообщении #665101 писал(а):

Все прямоугольники идентичны и после того, как центр монеты попал в конкретный прямоугольник - для этого конкретного прямоугольника понятие плотности вполне корректно.

Да, формулировка "центр монеты наугад кидается в прямоугольник" особых вопросов не вызывает: есть множество $S \subset \mathbb R ^ 2$ конечной меры $\mu(S)$; плотность совместного распределения $f(x, y)$ в области $S$ постоянна и равна $1/\mu(S)$, а вне области $S$ -- постоянна и равна нулю.

Вопрос в том, какой математический смысл имеет фраза "монета брошена наугад в плоскость".

[ewert]

Maslov в сообщении #665145 писал(а):

Вопрос в том, какой математический смысл имеет фраза "монета брошена наугад в плоскость".

Она брошена с бесконечно большой высоты, сетка же бесконечно мелка. Вполне физично.

[Лукомор]

Maslov в сообщении #665049 писал(а):

Равномерность распределения на всей плоскости ($f(x, y) = \operatorname{const}$) этому условию противоречит.

$f(x, y)=0$, вроде не противоречит?

[Cash]

$ \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty 0 dx dy = $?