Численные методы СЛАУ

[max(Im)]

Есть система $Ax=f,$

$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -6 \\2 & 21 & 0 \\ -6 & 0 & 21 \end{bmatrix}, f = \begin{bmatrix}-1 \\ 19\\6 \end{bmatrix}. $$

И есть итерационный процесс $x_{k+1} = (E - \tau A) x_k + \tau f$. Оптимальное значение $\tau_{opt}$ есть $\dfrac{2}{\lambda_{\max}+\lambda_{\min}}=\dfrac{1}{12}$ При нем метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем $q = \dfrac{\lambda_{\max}-\lambda_{\min}}{\lambda_{\max}+\lambda_{\min}}=22/24.$

Возмем начальное приближение $x_0 = (0\,5\,-2)^T.$ Нужно показать что для некоторого выбранного $\tau$ метод будет сходиться быстрее чем для $\tau=\tau_{opt}.$ Как это сделать? Как найти наилучший такой параметр для конкретного начального приближения? Помогите хоть с чего начать, вообще не понимаю.

[мат-ламер]

Это начальное приближение может лежать в каком-то собственном пространстве, для которого максимальное и минимальное собственные значения могут быть другими.

[max(Im)]

А почему именно собственное подпространство?

[ewert]

При том, что все эти оценки сходимости основываются на том факте, что для симметричного оператора норма равна максимальному модулю собственных чисел. И параметр тау подбирается из такого расчёта, чтобы после соответствующего сдвига и сжатия исходного оператора этот максимум оказался как можно меньше, отсюда и все формулы. Если же начальное приближение лежит в некотором инвариантном подпространстве, т.е. если оно ортогонально некоторому собственному вектору, то и фактический набор собственных чисел, участвующих в игре, будет более узким. Только для этого должны дополнительно выполняться ещё два условия: 1) правая часть должна лежат в том же инвариантном подпространстве, что и начальное приближение и 2) исключаемое собственное число должно быть или самым большим, или самым маленьким.