Плотность распределения частного двух случайных величин

[Fizzy]

Найти плотность распределения случайной величины $\eta=\frac{\xi_1}{\xi_1+\xi_2}$, если случайные величины $\xi_1,\xi_2$ независимы и равномерно распределены на отрезке [0,1].
Решение.
а) Пусть $\xi=\xi_1+\xi_2$
Величины $\xi_1,\xi_2$ независимы и распределены равномерно на отрезке [0,1]. Следовательно, их плотность распределения равна :

$$\[f_{\xi_1}(x)=\left\{\begin{array}{11} 1 & x\epsilon [0,1]\textrm{,}\\ 0 & \textrm{иначе} \end $$

$$\[f_{\xi_2}(x)=\left\{\begin{array}{11} 1 & x\epsilon [0,1]\textrm{,}\\ 0 & \textrm{иначе} \end $$

$\xi_1,\xi_2$ абсолютно непрерывны и независимы. Следовательно, справедлива формула свертки:

$$f_{\xi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{\xi_1}(y)*f_{\xi_2}(x-y)dy$$

Замена переменных:

$$\[f_{\xi_1}(y)=\left\{\begin{array}{11} 1 & y\epsilon [0,1]\textrm{,}\\ 0 & \textrm{иначе} \end $$

$$\[f_{\xi_2}(x-y)=\left\{\begin{array}{11} 1 & y\leq x\textrm{,}\\ 0 & y>x \end $$

Имеем три случая: $x \textless0,x >1, x\epsilon [0,1].$
1) $x<0$

$$p_{\xi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}p_{\xi_1}(y)*p_{\xi_2}(x-y)dy=\int_{-\infty}^x0*1dy+\int_{x}^00*0dy+\int_0^11*0dy+\int_1^{\infty}0*0dy=0.$$

2)$x>0$

$$p_{\xi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}p_{\xi_1}(y)*p_{\xi_2}(x-y)dy=\int_{-\infty}^00*1dy+\int_{0}^11*1dy+\int_1^x1*0dy+\int_x^{\infty}0*0dy=y\mid_0^1=1$$

3)$x\epsilon[0,1]$

$$p_{\xi}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}p_{\xi_1}(y)*p_{\xi_2}(x-y)dy=\int_{-\infty}^00*1dy+\int_{0}^x1*1dy+\int_x^11*0dy+\int_1^{\infty}0*0dy=y\mid_0^x=x$$

Получили:

$$\[f_{\xi}(x)=\left\{\begin{array}{111} 0 & x<0\textrm{,}\\ 1 & x\epsilon[0,1]\textrm{,}\\ x & x>1. \end $$

б) Рассмотрим $\eta=\frac{\xi_1}{\xi}$, где

$$\[f_{\xi_1}(x)=\left\{\begin{array}{11} 1 & x\epsilon [0,1]\textrm{,}\\ 0 & \textrm{иначе} \end $$

Применим формулу свертки:

1) $x\epsilon[0,1]$
$p_\eta(x)=\int\limits_0^{+\infty}yp_{\xi_1}(yx)p_{\xi}(y)\, dy-\int\limits_{-\infty}^0yp_{\xi_1}(yx)p_{\xi}(y)\, dy=2*\int_0^{\infty}yp_{\xi_1}(yx)p_{\xi}(y)\, dy=2 \[\Biggl(\int_0^xy*1*1 dy + \int_x^1 y*1*1dy+\int_1^{\infty}y*0*x dy \Biggr)\]=2 *\[\Biggl(\frac{y^2}2 \mid_0^x+ \frac{y^2}2 \mid_x^1\Biggr)\]=1$
2) иначе
$p_{\eta}(x)=0$

Ответ.$\[f_{\eta}(x)=\left\{\begin{array}{11} 1^ & x\epsilon [0,1]\textrm{,}\\ 0 & \textrm{иначе} \end $
Не могу понять что неправильно

[--mS--]

А давайте Вы для начала хотя бы плотность, которая получилась по формуле свёртки, проверите. Неужели такой может быть плотность?

А потом - разве можно применять "формулу свёртки" (вообще-то свёртка - это для суммы) к частному двух зависимых величин?

В Ваших формулах разобраться очень сложно, нужно обсуждать каждое равенство. Пока верных равенств очень-очень мало.

Ищите функцию распределения исходного частного по определению, через двойной интеграл.

[Fizzy]

Спасибо,я уже разобралась

[мат-ламер]

Я бы делал одним шагом, а не двумя, и вместо плотностей работал бы с функциями распределения. ИМХО, чуть попроще будет.

[Deggial]

Fizzy, включение в множество пишется так:

a\in A

: $a\in A$. Умножение пишется

\cdot

: $A\cdot B$