Вариация функции

[cool.phenon]

Здравствуйте. Возник элементарный вопрос :

Есть функция


$\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{rl} x\left( 2-x \right),x\in \left[ 0;1 \right) \\ x-2,x\in \left[ 1;3 \right] \\ \end{array} \]$


Требуется найти $V_{0}^{3}f$.

Для начала воспользуемся свойством.$V_{0}^{3}f=V_{0}^{1}f+V_{1}^{3}f$

$V_{1}^{3}f=2$, так как на этом участке функция возрастающая.

На первом участке распишем определение. Обозначения стандартные

$V_{0}^{1}f=\underset{{{\Delta }_{m}}}{\mathop{\sup }}\,\left( \sum\limits_{k=1}^{m-1}{\left| f\left( {{x}_{k+1}} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right) \right|} \right)=\underset{{{\Delta }_{m}}}{\mathop{\sup }}\,\left( \sum\limits_{k=1}^{m-2}{\left| f\left( {{x}_{k+1}} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right) \right|}+\left| {{x}_{m-1}}+1 \right| \right)\to V_{0}^{1}\left( x\left( 2-x \right) \right)+1+1=3$

Верно ли это? Чувствую, что на втором участке, где искал по определению, всё как-то нестрого. Подскажите, как это делается строго?

Вот попытка строго доказать :

$V_{0}^{1}f=\underset{{{\Delta }_{m}}}{\mathop{\sup }}\,\left( \sum\limits_{k=1}^{m-1}{\left| f\left( {{x}_{k+1}} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right) \right|} \right)=\underset{{{\Delta }_{m}}}{\mathop{\sup }}\,\left( \sum\limits_{k=1}^{m-2}{\left| f\left( {{x}_{k+1}} \right)-f\left( {{x}_{k}} \right) \right|}+\left| {{x}_{m-1}}+1 \right| \right)=\underset{{{\Delta }_{m}}}{\mathop{\sup }}\,\left( \left| f\left( {{x}_{m-1}} \right) \right|+\left| 1+f\left( {{x}_{m-1}} \right) \right| \right)$
Далее, поскольку рассматривается любое разбиение отрезка, устремляем $m$ к бесконечности. Тогда искомая вариация стремится к 3, поскольку $x_{m}$ стремится к 1. Проверьте, пожалуйста

[мат-ламер]

Если функция монотонная, то вариация для неё подсчитыаается просто. Если область определения функции можно разбить на участки монотонности - тоже всё просто. Ваше решение не осилил. Извините.

[cool.phenon]

Просто здесь нельзя разбить на участки монотонности, поэтому вопрос и возник.

[мат-ламер]

Ну и величину разрыва добавьте к сумме вариаций.

[cool.phenon]

Ну так оно в принципе и получается, вариация функции на первом куске равна $1$, скачок функции равен $2$, вариация на 2 куске равна 2. То есть, ответ $5$, так же, как и у меня в решении. Но меня интересует именно вот что, всё ли у меня в том сложном решении правильно?