2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 задача по функану
Сообщение26.12.2012, 13:13 
Добрый день,товарищи математики. есть задачка:доказать,что множество всех алгебраических многочленов всюду плотно в пространстве $C^1[a,b]$ ?
Для понимания, я рассмотрел пространство $C[a,b]$.Применяя теорему Вейерштрасса,утверждение будет доказано.
Рассматривая нужное пространство я столкнулся с трудностью.чтобы доказать нужный факт,мне кажется, надо применить теорему Вейерштрасса к производной и к функции. $\max|f' +Q_n (x)|<\varepsilon$.это применение для производной, а вот для функции:$\max|f(x) +P_n (x)|<?$ так чтобы $P'_n=Q_n$. как оценить данное выражение? И ещё 1 вопрос,какая норма в данном пространстве?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 13:34 
Аватара пользователя
Какая норма - хороший вопрос, особенно в конце. "Мужики, вот здесь постройте мост, а я пока позвоню в Москву и узнаю, где надо было."
Допустим, Вам надо нахлобучить и функцию, и производную. Ну и что? У функции есть производная? Вы её приблизили многочленом? Насколько они различаются? Значит, насколько могут различаться интегралы от них?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 13:39 
не понимаю,что вы имеете ввиду?

-- 26.12.2012, 16:21 --

я тут кое что откопал про норму пространства $C^1$
$||f||=\max|f(x)|+\max|f'(x)|$,где в 1 слагаемом $x \in \mathbb[a,b]$,а во втором $x \in \mathbb(a,b)$ это верно?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 14:34 
Аватара пользователя
Я бы сказал проще, но тогда получится ещё сложнее. Вы хотите что-то сделать с функцией. У Вашей функции есть производная. Да или нет? Вы её (производную) приблизили многочленом. Да или нет?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 14:40 
ну про производную в условии ничего не сказано,но раз у нас пространство $C^1$,это не значит что она там есть и она непрерывна? а по поводу многочлена...ну вроде бы да, мы её приблизили многочленом $P_n$

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 15:01 
Аватара пользователя
Так. Приблизили. Насколько хорошо приблизили? То есть, на какую величину отличаются эта производная и тот многочлен?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 17:05 
ну как,не больше чем эпсилон..или нет?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 17:12 
Аватара пользователя
Так. Хорошо. Теперь берём первообразную от производной (это и будет первоначальная функция) и от многочлена (это будет другой многочлен). Эти двое, чувствуется, тоже как-то в каком-то смысле близки, но как?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 17:40 
ну у многочлена от которого мы нашли первообразную,степень выше на 1

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 19:46 
Аватара пользователя
Возможно, но какое это имеет отношение к вопросу? По-моему, никакого. Важно ли нам, что многочлен - это многочлен? По-моему, нет. Тупо есть две функции, различающиеся не более, чем на $\varepsilon$, и мы хотим знать, на какую величину разойдутся их первообразные.

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 20:17 
ну может тоже на $\varepsilon$?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 20:24 
Аватара пользователя
Обобщению предшествует накопление фактов. Пусть отрезок у нас - $[0;10]$, функции $y=x$ и $y=1.001x$, $\varepsilon=0.01$. Верно ли, что функции различаются не более, чем на $\varepsilon$? А что там с первообразными?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 20:50 
не понимаю,как использовать отрезок и для чего нам 2-ая функция,ведь мы рассматриваем функцию и её производную,и проверяем отличаются они на многочлен или нет..

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 21:02 
Аватара пользователя
В математике в каждый момент рассматриваются только те свойства объекта, которые важны сейчас. Кому-то он кореш Вася, а кому-то - подследственный Сидоров. Поэтому я с какого-то места начал говорить о многочлене как о функции (ведь он же тоже функция, правда?), и, стало быть, о разности между двумя функциями. Я полагаю, что на этом пути Вам удастся получить оценку разности между первообразными. А Вы куда хотите двигаться?

 
 
 
 Re: задача по функану
Сообщение26.12.2012, 21:05 
безусловно многочлен-это функция. Я хотел бы приблизится к своей задаче,ибо я всё больше и больше теряю с ней связь,а двигаться хочу к решению

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group