Математическая постановка задачи

[ZumbiAzul]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Вот, какой процесс мне надо рассмотреть аналитически - распространение двумерного гауссова пакета (импульса) через линейную среду с показателем преломления n (линейный диэлектрик). Как оформить математическую постановку задачи, чтобы рассмотреть явление дисперсии в частности?

Спасибо!

[Ilia_]

Из уравнений Максвелла для произвольной компоненты электромагнитного поля следует волновое уравнение:

$$\left(\Delta-\frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\Psi(t,\vec r)=0.$$

Если его решать в параболическом приближении, получите фокусировку и последующее расплывание монохроматического гауссова (по пространству) пучка с постоянной по времени амплитудой.

Если у вас постановка задачи именно такова (например, лазерный импульс с характерным временем много больше периода колебаний поля), то вам этого достаточно. Диэлектрическую проницаемость берёте верную для заданной частоты импульса $\omega$, зависимость $\Psi(t,\vec r)$ в виде $\Psi(\vec r)e^{-i\omega t}\cdot I(t)$, где $I$ - огибающая импульса. Так как $\partial I/\partial t \ll \omega I$, производной $\partial I/\partial t$ пренебрегаем, и, собственно, явление дисперсии отсутствует, так как импульс монохроматический.

Но насколько я понял, вас интересует другой случай, когда никакой монохроматичности нет, и зависимость амплитуды поля от времени также имеет гауссов вид $\displaystyle \exp{\left(-\left(\frac{t-t_0}{\tau}\right)^2\right)}$. Тогда вам следует осуществить преобразование Фурье:

$$\left(\Delta+\varepsilon(\omega)\frac{\omega^2}{c^2}\right)\Psi(\omega,\vec r)=0,$$

и поставить для каждой частотной компоненты свои граничные условия.

[ZumbiAzul]

Ilia_
Cпасибо за Ваш ответ!
Да, меня интересует ограниченный со всех сторон функцией гаусса импульс, в т.ч. и во времени. Что значит "свои граничные условия"?

Еще вопрос: почему справа нуль? Дело в том, что, как я себе представляю, справа должен стоять источник гауссова импульса... Только не совсем понятно как его оформить. Если справа просто написать функцию Гаусса зависящую только от времени и умноженную на дельта-функцию координат (чтобы обозначить точечный источник), то получится что-то вроде сферической волны, разбегающейся во все стороны... А мне хотелось бы рассмотреть ограниченный со всех сторон пучок, распространяющийся вдоль одной оси...

[Munin]

ZumbiAzul в сообщении #662778 писал(а):

Дело в том, что, как я себе представляю, справа должен стоять источник гауссова импульса...

Его стоит вводить через граничные или начальные условия. Если вы внесёте в область задачи источник, то он может дать вам лишние волны в другую сторону, лишние отражения от него падающих волн, и прочие приключения.

ZumbiAzul в сообщении #662778 писал(а):

А мне хотелось бы рассмотреть ограниченный со всех сторон пучок, распространяющийся вдоль одной оси...

Для этого источник должен быть шире, чем толще. С большим соотношением.

[Ilia_]

ZumbiAzul в сообщении #662778 писал(а):

А мне хотелось бы рассмотреть ограниченный со всех сторон пучок, распространяющийся вдоль одной оси...

Проще всего ставить такую задачу в полупространстве, скажем, $z>0$. Источник, как верно заметил Munin, задаём путём постановки граничных условий:

$$\Psi(z=0,r,t)=\exp\left(-\frac{(t-t_0)^2}{\tau^2}\right)\cdot \exp\left(-\frac{r^2}{l^2}\right),$$

$$\Psi(z=0,r,\omega)=\int dt \Psi(z=0,r,t)e^{i\omega t}.$$

Здесь использованы цилиндрические координаты. Теперь для частоты $\omega$ мы имеем гауссов пучок постоянной амплитуды. Как корректно поставить граничное условие на производную, с ходу сообразить не могу, но это и не надо, так как решение для такого пучка в параболическом приближении нам известно (и приведено по ссылке, которую я давал, да и в ЛЛ-2, насколько я помню). Отличие только в том, что сейчас $k=\omega\sqrt{\varepsilon(\omega)}/c$ и у разных частот будет разная амплитуда. Полное решение волнового уравнения получаем путём обратного перехода:

$$\Psi(z,r,t)=\int \frac{d\omega}{2\pi} \Psi(z,r,\omega)e^{-i\omega t}.$$

[Ilia_]

О граничном условии на производную: она зависит от значения радиуса кривизны волнового фронта $R$ на границе области. Этот же параметр, в конченом итоге, определяет, где в вакууме расположилась бы фокусная плоскость.

Но каким взять $R$, вам надо будет продумать в зависимости от физической постановки задачи. Проще всего, конечно, положить $1/R=0$, то есть, фактически, поместить границу области в фокус. Кстати, при такой постановке будет относительно просто и найти влияние дисперсии на распространение пакета.

[ZumbiAzul]

Спасибо за ответы, ребята!
Но, наверное, я сильно подзабыл матфизику, и теперь много неясностей.

$$\Psi(z=0,r,\omega)=\int dt \Psi(z=0,r,t)e^{i\omega t}.$$

Каков смысл этого условия?


Да, скорее всего надо, чтобы кривизна волнового фронта совпадала с кривизной плоскости, т.е. 1/R=0. Как в таком случае поставить условие на производную?

[Ilia_]

ZumbiAzul в сообщении #663085 писал(а):

Каков смысл этого условия?

Это граничное условие, которое получается после преобразования Фурье.

ZumbiAzul в сообщении #663085 писал(а):

Как в таком случае поставить условие на производную?

Можно попробовать как для плоской волны:

$$\left \frac{\partial \Psi(z,r,\omega)}{\partial z}\right|_{z=0}= i\frac{\omega\sqrt{\varepsilon(\omega)}}{c}\Psi(z=0,r,\omega)$$

Но если работать в параболическом приближении, его можно и не ставить вообще, так как для гауссова пучка сфокусированного в плоскость $z=0$ известно решение:

$$\Psi(z,r,\omega)=A(\omega)\cdot \exp\left(-\frac{r^2}{l^2+\alpha z^2}\right)\cdot e^{ikz},$$

где введены обозначения: $\alpha=\frac{4}{k^2l^2},$ $k=\frac{\omega\sqrt{\varepsilon(\omega)}}{c}.$ А единственную неизвестную константу $A(\omega)$ можно найти исходя лишь из первого граничного условия.

UPD: Минут десять глядел на формулы, прежде, чем сообразил, что одно другому не противоречит, и решение в параболическом приближении удовлетворяет именно такому условию на производную :). Но это, конечно, лишь потому, что в плоскости фокусировки волновой вектор везде параллелен оси $Oz$.

[ZumbiAzul]

Спасибо, Ilia_! Вы мне очень помогли!
Попробую порешать, посмотрим, что получится)