Геодезически полное пространство чёрной и белой дыры

[SergeyGubanov]

В результате споров с Someone там: post661507.html#p661507 до меня сейчас дошло как очень просто организовать геодезически полное пространство чёрной и белой дыры.

Вот метрика чёрной дыры:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

В системе отсчёта связанной с наблюдателями движущимися со скоростью $\frac{dr}{dt} = - c \sqrt{\frac{r_g }{ r}}$ трёхмерное пространство является евклидовым: $d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$

Вот метрика белой дыры:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

В системе отсчёта связанной с наблюдателями движущимися со скоростью $\frac{dr}{dt} = + c \sqrt{\frac{r_g }{ r}}$ трёхмерное пространство является евклидовым: $d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$

Каждое из этих пространств по отдельности геодезически неполное.

Склеиваем их.

Полное пространство получается так. Берём одну из этих метрик, например метрику чёрной дыры:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

И говорим, что переменная r теперь пробегает значения от $-\infty$ до $+ \infty$. Дополнительно к этому, отождествляем точку $r = -\infty$ с точкой $r = +\infty$. То есть уйдя по радиусу на плюс бесконечность оказываешься по радиусу в минус бесконечности.

В системе отсчёта связанной с наблюдателями движущимися со скоростью $\frac{dr}{dt} = - c \sqrt{\frac{r_g }{ r}}$ трёхмерное пространство является евклидовым: $d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$ как при $r > 0$ так и при $r < 0$ (как бы два экземпляра евклидовых пространств).

Кажется всё, полное пространство готово.

[SergeyGubanov]

Ах, да, совсем забыл! Если радиус теперь может быть отрицательным, то надо слегка модифицировать выражение $\sqrt{\frac{r_g}{r}}$, а то оно мнимым будет при $r < 0$. Туда надо модуль $r$ подставлять. Ну, что-то вроде $\sqrt{\frac{r_g}{r}} \to \left( \frac{r_g^2}{r^2} \right)^{1/4}$. То есть лучше писать так:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + c \left( \frac{r_g^2}{r^2} \right)^{1/4} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Соответственно, слегка модифицируется уравнение движения глобальной свободно падающей системы отсчёта $\frac{dr}{dt} = - c \left( \frac{r_g^2}{r^2} \right)^{1/4}$, в которой трёхмерное пространство евклидово.

-- 24.12.2012, 10:04 --

Ещё точки $r = - \infty$ и $r = + \infty$, вообще-то, не обязательно отождествлять, и без этого хорошо.

[Утундрий]

Если отбросить все лишние символы, то суть "эпохального открытия" сводится к нижеследующему.

Имеем $\sqrt r$. Теперь будем "пробегать" $ - \infty < r < + \infty $, отождествив $r = + \infty $ и $r = - \infty $. Это, понятно, дает нам два экземпляра $r < 0$ и $r > 0$. Ах да! Там какие-то мнимые единицы вылезают. Тогда поставим модуль. Вот так $\sqrt {\left| r \right|} $. Ух ты, как интересно получилось. Точки $r = + \infty $ и $r = - \infty $ теперь можно не отождествлять!

[SergeyGubanov]

Вы меня не путайте, я и сам запутаюсь.

Полное пространство $-\infty < r < + \infty$:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + c \sqrt{\frac{r_g}{|r|}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

"Чёрный" экземпляр $r > 0$:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr + c \sqrt{\frac{r_g}{r}} dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

"Белый" экземпляр $r < 0$ можно переписать через положительный радиус $\xi > 0$, который есть $\xi = - r$, но дифференциал-то тоже меняет знак $d\xi = - dr$:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( - d\xi + c \sqrt{\frac{r_g}{\xi}} dt \right)^2 - \xi^2 d\theta^2 - \xi^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2$$

Всё в порядке, плюсы и минусы оказались на нужном месте.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #663448 писал(а):

Всё в порядке

Определённо не всё в порядке. Особенность-то при $r=0$ никуда не делась. А через особенность перепрыгивать и некрасиво и одновременно чревато боком.