Теория вероятности (2 курс) не берущийся интеграл

[houkstu]

Изложу суть:
есть задачка, решить которую я сам не смог, взял ее у более старшего курса который сдавал такие же задачи тому же преподу.
и вот в чем проблема, решение на скольоко я понимаю логично и вроде бы все как надо,
только в конце там не берущийся интеграл и преподаватель не принимает ее у меня а го назад точно такую же принял.
вобщем говорит он: "1)что там все должно быть нормально; 2)значит вы не тем способом решаете, ищите другой способ"
Подскажите мне как быть, как решить ее другим способом и что вообще с ней делать.
Может обосновать как то... вобщем я не знаю.
Вот сама задачка:

Условие:
Найти вероятность того, что функция $x^{2}-2ax+b$ имеет комплексные корни,
если коэффициенты $a$ и $b$ являются независимыми случайными величинами,
распределенными показательно с параметром $\alpha$

Решение:
Нам необходимо найти вероятность:

$P\{(4a^{2}-4b)<0\}$

Так как если у уравнения дискриминант меньше нуля, значит у него есть комплексные корни. Воспользуемся формулой показательного распределения с параметром $\alpha>0$:

$\begin{center} \[ p_{\xi}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \textrm{, $x<0$} \textrm{,}\\ \alpha\cdot e^{-\alpha\cdot x} & \textrm{, $x\geq 0$.} \end{array} \right. \] \end{center}$

$(4a^{2}-4b)$ можем сократить на 4.
Теперь необходимо найти плотности распределения следующих величин:
1) $p(a^2)$

Получаем $p_{1}(a^2)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \alpha\cdot e^{-\alpha\cdot \sqrt{x}}, x\geq 0$

2) $p(-b)$

Получаем $p_{2}(-b)=\alpha\cdot e^{\alpha\cdot x}, x\leq 0$

3) $p(a^2-b)$

Для нахождения плотности распределения $p(z)$ воспользуемся формулой:

$p(z)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f_1(x)\cdot f_2(z-x)dx$

Либо по равносильной ей формуле:

$p(z)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f_1(z-y)\cdot f_2(y)dy$

Найдем $p(z)$:

$p(z)=\int \limits_{z}^{\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \alpha\cdot e^{-\alpha\cdot \sqrt{x}}\cdot\alpha\cdot e^{\alpha \cdot (z-x)}dx=\frac{\alpha^2}{2}\cdot e^{\alpha\cdot z}\cdot \int \limits_{z}^{\infty} \frac{e^{-\alpha \cdot \sqrt{x} -\alpha \cdot x} }{\sqrt{x}}dx$

Данный интеграл не берется.
Следующим шагом, чтобы найти вероятность необходимо будет проинтегрировать в пределах от $-\infty$ до $0$ полученную ранее, плотность распределения от суммы случайных величин.

[--mS--]

Ну и зачем ради нахождения одной вероятности $\mathsf P(a^2-b<0)=\mathsf P(a^2 < b)$ Вы хотите искать плотность разности $a^2-b$, т.е., грубо говоря, вероятности $\mathsf P(a^2-b<x)$ при всех $x$?

Нашли плотность $p_{a^2}(x)$, есть плотность $p_b(y)$, вот и интегрируйте произведение этих плотностей по области $0<x<y$.

-- Пн дек 24, 2012 01:58:56 --

Ничего в явном виде, конечно, не получится, но через функцию ошибок или функцию Лапласа или функцию распределения стандартного нормального закона вполне можно ответ выразить.

[houkstu]

$p_{a^2}$ есть а $p_b$ нету вы наверно имели ввиду $p_{-b}$?

[--mS--]

А в условие посмотреть?

[houkstu]

не понимаю что надо сделать у меня есть $p(a^2)$
вы не совсем понятно объясняете, возможно для кого-то понятно, но у меня не очень хорошо с теор вером,

[--mS--]

А Вы попробуйте понять. Никакой $p(a^2)$ у Вас нет. У Вас есть плотность случайной величины $a^2$ в точке $x$.

Впрочем, не настаиваю. Ищите тех, кто понятно объясняет.

[houkstu]

ее надо найти да?

[--mS--]

Вы её уже нашли. Поищите среди своих плотностей.

[houkstu]

это та что $p_1(a^2)$ у меня?

[ewert]

houkstu в сообщении #662605 писал(а):

Данный интеграл не берется.

Он прекрасно берётся, но выражается через функцию Лапласа, и тут уж ничего не поделаешь; значит, через неё и выражается. Только Вы совсем не в ту сторону думаете. От Вас требуется тупо посчитать двойной интеграл от двойной плотности: $\alpha^2\int\limits_0^{+\infty}da\int\limits_{a^2}^{+\infty}db\cdot e^{-\alpha(a+b)}$. Вот и сводите его к функции Лапласа.

[houkstu]

я не умею