Вариационное исчисление. Как найти минимум функционала?

[Bront]

$J=\min \int (y'yx^2-2y^2)dx$
граничные условия
$y(0)=2;$
$y(3)=5;$
По формуле Эйлера будет:$ f'_y-(d/dx)f'_{y'}=0$
$f'_y =y'x^2-4y$
$f'_{y'}=yx^2$
$(d/dx)f'_{y'}=2xy$
и получаем $y'x^2-4y-2xy=0$
а что дальше ? как находить общее решение уравнение $C_1$ и $C_2$?

[Bront]

Проинтегрировал: $(f-f'_{y'})'=0$
и подставил все в эту формулу $f-f'_{y'}=C_1$ и получил $y'yx^2-2y^2-x^2y'=C_1$
Теперь не могу взять замену переменных $t$ такую чтобы в итоге получилась интегрируемое уравнение...
Какую взять $t$?

[ИСН]

Bront в сообщении #662449 писал(а):

$f'_{y'} =yx^2$
$(d/dx)f'_{y'} =2xy$

Вот этот момент поподробнее, пожалуйста.

-- Вс, 2012-12-23, 21:10 --

(Потом встанут другие вопросы: слышали ли Вы о диффурах, как их решать, нужно ли их решать, есть ли смысл во всей этой задаче...)

[Bront]

$f'_y_'$ это производная от подынтегральной функции по $y'$
$(d/dx)f'_y_'$ это производная по иксу от выше написанной

[ИСН]

В этом я не сомневался. Скажите, а... например, если бы там вместо $yx^2$ было просто $y$, то какая бы получилась производная?

[Bront]

0 я так пологаю

[ИСН]

То есть производная от y по x есть 0? То есть y - константа?

[Bront]

вот я тоже подумал что y не может быть константой.. тогда что же делать?

[arseniiv]

Не уверен, но кажется, что дифференцировать серьёзнее.

[Bront]

ну вообщем продифференцировал так $yx^2=y'x^2+2yx$

[ИСН]

так-то лучше, ага.
подставляйте.

[Dragon27]

Bront
$\frac{d}{dx}$ в данном случае означает, так сказать, полную частную производную (или лучше сказать просто "полную"?), в отличие от $f'_x$, которая бы означала частную производную $f(x,y,y')$ только по первому аргументу (а остальные аргументы рассматривались бы как независимые).
Таким образом $\frac{d}{dx} f'_{y'} = f'_{y'x} + f'_{y'y}y' + f'_{y'y'}y''$
Ну это так, на будущее.

[Bront]

подставил в формулу эйлера , все сокращается остается только $x=-2$ , не понимаю

[ИСН]

а я ведь сразу сказал:

ИСН в сообщении #662526 писал(а):

есть ли смысл во всей этой задаче...

[Bront]

тоесть что ? нет решений?