Дискриминанта (огибающая) семейства кривых

[Nagva1]

Из учебника: пусть задано уравнение однопараметрического семейства линий $F(x,y,C)=0$, где $C$ - параметр. Множество точек, удовлетворяющих системе
$F(x,y,C)=0$; $F_C(x,y,C)=0$ - дискриминанта семейства.

И надо приложить это к решению задачи: семейство кривых задаётся системой:
$x=v\cos(\alpha)t$
$y=v\sin(\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$
, параметр это угол, видимо.. но правомерно ли соединить это в одно уравнение (выразив $x$ через $t$ и подставив)?

[Алексей К.]

А что Вас смущает в этом? Вполне законное действо.

-- 25 сен 2012, 19:06:49 --

В более трудном случае пришлось бы мудрить, а здесь можно не мудрить.

[alcoholist]

Nagva1 в сообщении #623361 писал(а):

но правомерно ли соединить это в одно уравнение (выразив $x$ через $t$ и подставив)?

уравнение огибающей в случае параметрического задания кривой $x=x(a,t)$, $y=y(a,t)$ это $x=x(a(t),t)$ $y=y(a(t),t)$, где $a(t)$ -- решение уравнения

$$ \frac{\partial x}{\partial a}\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial a} $$

[Unconnected]

Цитата:

где $a(t)$ -- решение уравнения
$\frac{\partial x}{\partial a}\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial a}

Почему именно такого уравнения, и что отсюда можно найти? (я так понял, частные производные от исходных $x,y$ (а не которые будут ответом)).

[Алексей К.]

Формулу, приведённую alcoholist, я не встречал, но, кажется, не встретив в справочниках, вынужден был (когда-то) сам выводить. Если $x=x(t;C),\;y=y(t;C)$, то можно ввести обратные функции $t=\xi(x;C),\;t=\eta(y,C)$. Тождество $t-t\equiv 0$ превращается в ту самую неявную функцию $F(x,y,C)\equiv \xi(x;C)-\eta(y,C)=0.$ Как бы свели задачу к традиционной, изложенной в Корне, и дальше остаётся подифференцировать наше $F(x,y,C)$, подуумать про $\xi'_C=\frac{\partial\ldots}{\partial\ldots},\; \ldots$

А наверное (если кто не разучился тупо думать), можно было бы применить соображения, использованные для вывода огибающей неявного семейства, к построению огибающей параметризованного семейства.

[alcoholist]

(Оффтоп)

Nagva1 в сообщении #623361 писал(а):

И надо приложить это к решению задачи: семейство кривых задаётся системой:
$x=v\cos(\alpha)t$
$y=v\sin(\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

прикладываем:
уравнение

alcoholist в сообщении #623374 писал(а):

$$ \frac{\partial x}{\partial a}\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{\partial y}{\partial a} $$

имеет вид

$$ (-vt\sin a)(v\sin a-gt)=v^2t\cos^2 a, $$

откуда

$$ gt\sin a=v\quad\LongRightarrow\quad t=\frac{v}{g\sin a} $$

и искомое уравнение огибающей

$$ x(a)=\frac{v^2\ctg a}{g},\quad y(a)=-\frac{v^2\ctg^2a}{g} $$

после исключения параметра $y=-\frac{gx^2}{v^2}$ -- парабола.

Что такое огибающая $R(a)$ семейства кривых $r(t,a)$ геометрически? Это кривая, касающаяся каждой кривой данного семейства. Т. е. касательный вектор этой кривой $R'$ коллинеарен касательному вектору $\partial r/\partial t$ каждой кривой данного семейства в точке их (кривых) пересечения. Условие, записанное мною -- это условие коллинеарности

[Nagva1]

Ураа, всё понял) Спасибо!

[alcoholist]

alcoholist в сообщении #623570 писал(а):

Что такое огибающая $R(a)$ семейства кривых $r(t,a)$

надо было написать, что $R(a)=r(t(a),a)$, или $R(t)=r(t,a(t))$, что одно и то же

-- Ср сен 26, 2012 23:17:50 --

Алексей К. в сообщении #623482 писал(а):

Формулу, приведённую alcoholist, я не встречал

нет под рукой возможности, но в курсе Гурсы эта формула, кажется, есть

[Galaley]

А у кого-нибудь есть пример построения огибающей семейства параметрических кривых в mathcad, очень интересно как там задавать уравнения для построения графика