ТВ: оценка математического ожидания; двойной интеграл

[Alenka_kiss]

Привет ребята! Решаю вторую контрошку по Теории вероятностей (осталось 2 задачи). Точнее одна, потому что одну их них я вроде решила. Но у меня почему-то осталась одна величина, заданная по условию, не при делах. И еще: если одно дается в сантиметрах, а другое в миллиметрах - то к каким единицам приводить?
Вот моя задача 1. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n=100 вычислено выборочное математическое ожидание $\tilde\alpha$ (в сантиметрах) диаметра валика. Найти с надежностью 0,99 точность $\delta$, с которой выборочное математическое ожидание оценивает математическое ожидание диаметра валика, зная что их среднее квадратичное отклонение
$\sigma$=2мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.
Мое решение. $\Phi(t)= \frac \gamma 2$
Получается 0,99:2=0,495 По таблице для функции Лапласа находим, что t=2,58
$\delta =$ $\frac {t\sigma} \sqrt{n}$
Дельта равна произведение t и сигмы деленная на корень квадратный из n
$\delta = 0,0516 см$
А может ее надо было в миллиметрах считать. И куда девать выборочное математическое ожидание?
Задача 2 Задача два трудна тем, что если в прошлой контрольной был простой определенный интеграл, в этой - двойной интеграл. Вообще-то, это конечно не честно. Надо было какое-то повторение дать на интегралы, а потом уже задать контрольные. Задача в следующем.
Дана плотность распределения вероятностей системы (X,Y)
f(x,y) = {C в треугольнике О(0,0), А(2,0), В(0,1), 0 в остальных точках.
Найти:
Константу С;
f1(x), f2(y);
M[X], M[Y];
D[X], D[Y];
cov(X,Y);
$r_{xy}$;
F(1, 1/2);
M[X/Y=1/4].
Решение. У меня выходит, что D - область, ограниченная сторонами треугольника ОАВ. По условию нормировки двойной интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности f(x,y)dxdy равен 1. То есть решив этот интеграл можно найти C. Есть формулы для расчета следующих заданий - но это тоже интегралы, которые я не умею решать. Зная предыдущеее можно расчитать коээффициент корреляции по формуле cov(X,Y) поделить на корень квадратный из D[X], умноженный на корень квадратный из D[Y].
На счет последних двух заданий запуталась. Без ряда распределения системы случайных величин, я этого считать не умею, и интегралы брать не умею.
Помогите, пожалуйста, с этими интегралы, у вас это здорово получается!

[Dan_Te]

Первая задача: да, надо в миллиметрах. Выборочное среднее $\tilde\alpha$ предполагается имеющим нормальное распределение с параметрами $\alpha$ и $\left(\frac{\sigma} {\sqrt{n}}\right)^2$, где $\alpha$ - истинное среднее значение, которое мы оцениваем. Если взять $\delta=\frac{t\sigma}{\sqrt n}$, то выборочное среднее с вероятностью 0.99 попадет в интервал $\tilde\alpha$\in(\alpha-\delta,\alpha+\delta). Это и будет означать, что мы оценили среднее с точностью $\delta$, и надежность нашей оценки 0.99
Ну а $\delta$ уже измеряется в миллиметрах. Только вы ее неправильно посчитали, забыли корень извлечь.

[Alenka_kiss]

Большое спасибо! А как мне взять интеграл во второй задаче? Может есть какое-ниудь кратенькое пособие для гуманитариев по поводу двойных интегралов?

[PAV]

В данном конкретном случае взять двойной интеграл не является трудной задачей. Интегрируемая функция - ноль вне треугольника и константа С внутри него. Ноль не дает никакого вклада, отсюда остается интеграл по треугольнику от константы. Далее константа выносится за знак интеграла, остается интеграл по треугольнику от единицы. А интеграл от единицы равен просто мере области, по которой интегрируем, т.е. в данном случае - площади треугольника. Отсюда следует, что константа С равна 1/S, где S - площадь треугольника.

[Kelegorm]

Чтобы взять двойной интеграл, его надо перевести в повторный. Для этого область, по которой берется интеграл, проецируем на какую-нибудь координатную ось. Разумеется надо сделать чертеж. Заданный треугольник проецируется на ось OX в отрезок [0;2], ограничен снизу прямой ОА, имеющей уравнение y=0, а сверху прямой АВ, имеющей уравнение y = - 0.5x + 1. Следовательно,

$$\int\int\limits_{OAB}Cdxdy = C*\int\limits_0^2dx\int\limits_0^{-0.5x+1}dy = C*\int\limits_0^2(-0.5x+1-0)dx = C*(-0.25x^2 + x)_0^2 = C*(-0.25*2^2 + 2 - 0) = C$$

Так как этот интеграл равен 1, то С=1.

[Alenka_kiss]

Спасибо большое! Я то решала его два раза и один раз у меня получилась 2/9, а второй - 1/3. Думаю, третий раз буду решать, еще какой-нибудь ответ получиться.