Составить дифференциальное уравнение.

[netang]

Дано задание: Составить дифференциальное уравнение кривых, обладающих тем свойством, что длина отрезка касательной между точкой касания и осью ординат в $a$ раз больше, чем модуль абсциссы этой точки.
Подскажите пожалуйста с чего начать решение такой задачи? Как я понял там надо через теорему Пифагора выражать $y$

[ИСН]

О производных слышали, например? Уравнение касательной в данной точке знаете?

[netang]

Цитата:

О производных слышали, например? Уравнение касательной в данной точке знаете?

Да.

[ИСН]

И как же оно выглядит?

[netang]

$y(a) + y'(a)(x - a)$

[ИСН]

В уравнении где-то обязан быть знак "равно".
Ну ладно, а точку пересечения с осью ординат можете найти?

[netang]

Цитата:

В уравнении где-то обязан быть знак "равно".

равно y.

Цитата:

Ну ладно, а точку пересечения с осью ординат можете найти?

$y(a) + y'(a)(x - a) = 0$

-- 20.12.2012, 15:04 --

Возможно так? $x_{0}^2+(y-y_{0})^2=a^2 \cdot x_{0}^2$

[ИСН]

Среди написанного не увидел ни одной точки.
Кроме того, мне перестало нравиться уравнение касательной. Что в нём означает буква $a$?

[netang]

Цитата:

Что в нём означает буква $a$?

Абсцисса точки касания.

В этом $x_{0}^2+(y-y_{0})^2=a^2 \cdot x_{0}^2$ уравнении через $a$ обозначается заданное значение в условии задачи.

[ИСН]

netang в сообщении #661068 писал(а):

Абсцисса точки касания.

Ага. Вот обозначьте её как-нибудь иначе. А то в формулировке задачи некое $a$ уже фигурирует и значит совсем не то.

[netang]

Имеем уравнение касательной:
1. $y = f(x_{0}) + f '(x_{0})(x - x_{0})$
2. Чтобы узнать точку пересечения касательной с осью ординат, нужно в полученном уравнении касательной, x заменить на ноль.
Правильно ли задано уравнение?
$x_{0}^2 + (y(0)-y_{0})^2 = (a \cdot x_{0} )^2$

[ИСН]

вроде да.
подставляем, упрощаем...

[netang]

Цитата:

подставляем, упрощаем...

Я вот не могу понять вместо $y(0)$ что написать, $y = f(0) + f '(0)(x - 0)$ или же $y = f(x_{0}) + f '(x_{0})((0) - x_{0})$?

[ИСН]

В выражение $y=f(x_0)+f '(x_0)(x-x_0)$ на место x подставили 0. Что получилось?

[netang]

Цитата:

В выражение $y=f(x_0)+f '(x_0)(x-x_0)$ на место x подставили 0. Что получилось?

$y=f(x_0)+f '(x_0)(-x_0)$ но ведь при пересечении $x_0$ тоже по сути должны быть равны 0?