Дробные степени и отрицательные основания

[Limit79]

$f(x) = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x+1}$

Область определения будет $[0;+ \infty)$ или $(- \infty ;-1)v(-1;+ \infty)$ ?

Спасибо.

-- 19.12.2012, 22:45 --

Забыл сказать, нужно, чтобы было без комплексных чисел, только действительные.

[SpBTimes]

Первая.

[Limit79]

SpBTimes
А почему?
Ведь:
$(-1)^{ \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-1)^2} = \sqrt[3]{1} = 1$
$(-1)^{ \frac{2}{3}} = ( \sqrt[3]{(-1)})^2 = (-1)^2 = 1$

Где тут нарушается равенство?

-- 19.12.2012, 23:01 --

Грубо говоря, надо решить данный вопрос при условии что, что комплексные числа мы не знаем, то есть оперировать только действительными числами.

[gris]

Действительная функция $y=x^a$ для нецелых значений показателя степени $a$ определена только для $x>0$. Просто по своему определению. Хотя для некоторых значений показателя степени можно её трактовать или записать так, что она будет определена и для отрицательных $x$. Но это будет уже не степенная функция, а композиция двух степенных.

Например, $x^{\dfrac23}=\big(x^2\big)^{\dfrac 13}$. Функция "квадрат" определена для всех $x$, внешняя для неотрицательных, то есть композиция определена на всей числовой оси. Но это разные функции и именно из-за разных областей определения.

Сравните: $x+\sqrt x-\sqrt x=x$. Равенство есть, а функции справа и слева разные.

[Limit79]

gris
То есть область определения исходной функции будет $(0;+ \infty)$ ?

-- 19.12.2012, 23:17 --

Меня терзают смутные сомнения, что отрицательные числа, кроме $-1$ входят таки в область определения данной функции, так как исходное задание: "Исследовать функцию и построить график", а если не учитывать отрицательные числа, то и точка разрыва тогда пропадает...

-- 19.12.2012, 23:19 --

И точки пересечения с осями координат пропадают...

[gris]

В общем-то это вопрос крючкотворства. Если ваши преподаватели или задача по существу своему, предполагают однозначную трактовку данной функции для отрицательных $x$, то вполне можно и исследовать.
Но я бы специально оговорил это и тем самым бы даже может быть заработал плюсик, так как проявил бы себя знатоком вопроса

[Limit79]

gris
То есть можно написать, что:

gris в сообщении #660852 писал(а):

Действительная функция $y=x^a$ для нецелых значений показателя степени $a$ определена только для $x>0$. Просто по своему определению.

?

-- 19.12.2012, 23:31 --

И если Вам не трудно, не могли бы Вы подсказать, хотя бы в какой теме в учебниках по высшей (или не высшей?) математике искать то, что написали Вы. Чтобы, если что, показать книгу преподавателю.

[gris]

В разных учебниках по разному это определяется. Я бы просто отметил в примечании, что считаю $x^{\dfrac23}=\big(x^2\big)^{\dfrac 13}$.$ И преспокойно исследовал бы функцию на всей оси. Вопрос об определении степени числа не из раздела исследования функций, а из раздела "действительные числа" и в вашем случае несущественен для задачи. Но бывает, что преподаватели требуют непомерной строгости, тогда лучше посмотреть лекциях или учебнике. Или перестраховаться.

[Limit79]

gris
Спасибо за помощь!