Распределение средств. Динамическое программирование

[Sverest]

Задача динамического программирования
Имеется S_0 – начальное количество средств, которые нужно распределять в течение m лет между двумя отраслями I и II. Средства, вложенные в каждую отрасль, приносят за год определенный доход. Если вложить средства х в отрасль I, то за год получим доход f_1(x). Если вложить средства $y$ в отрасль II, то за год получим доход f_2(y). При этом средства амортизируются (уменьшаются) так, что к концу года становятся равными для I отрасли \varphi_1(x)<x, а для II отрасли \varphi_2(y)<y.

По истечение года оставшиеся от К_0 средства перераспределяются заново между отраслями I и II. Новых средств не поступает, доход в производство не вкладывается, а накапливается отдельно. Найти такой способ управления ресурсами (какие средства, в какие года и в какую отрасль вкладывать), при котором суммарный доход от обеих отраслей за m лет будет максимальным.

Решить задачу при следующих условиях: S_0 = 10000, f_1(x)= 0,6x^2, f_2(y)= 0,5y^2, \varphi_1(x)= 0,7x, \varphi_2(y)= 0,8y, m=3.

Уравнение состояния
s_k = \varphi_1 (x_k) + \varphi_2 (s_{k-1} - x_k)
s_k=0.7 x_k +0.8 (s_{k-1} - x_k)
s_k=0.8s_{k-1}-0.1x_k

Целевая функция k-го шага
f_1(x_k)+f_2(s_{k-1}-x_k)^2
1.1x^2_k+0.5s^2_{k-1}-s_{k-1}x_k

Целевая функция
Z= \sum\limits_{k=1}^3 1.1x^2_k+0.5s^2_{k-1}-s_{k-1}x_k

Функциональные уравнения

Z^{*}(s_2)=\max\limits_{0 \leqslant x_3 \leqslant s_2} \{ 1.1x_3^2_k+0.5s^2_{2}-s_{2}x_3 \}

Z^{*}(k)=\max\limits_{0 \leqslant x_k \leqslant s_{k-1}} \{ 1.1x^2_k+0.5s^2_{k-1}-s_{k-1}x_k + Z^{*}_{k+1}(s_k)\}

III шаг

Z_3 = 1.1 x_3^2 + 0.5 s_2^2 -s_2 x_3

график этой функции при s_2=1



график этой функции при s_2=10



график этой функции при s_2=-10



Как узнать когда у этой функции будет максимум?

[Deggial]

Sverest, для набора формул тег math использовать практически не нужно (иногда для матриц нужно). Достаточно просто обрамлять формулы долларами:

$f(x)$

формулы получаются красивее