Счетное объединение замкнутых множеств = точки разрыва ф-ции

[Tik-tak]

Кто знает как доказть,что для любого счетного объединения замкнутых множеств существует функция множесво точек разрыва какой совпадает с этим множеством(Всё расматривается для множества дайствительных чисел)

[alex-basik]

Сформулируйте вашу задачу поподробнее.

[Brukvalub]

Я знаю, вот схема д-ва:
1.Пусть

\[F = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {F_n } \]

, где каждое мн-во

\[F_n \]

замкнуто. Если мн-во т. разрыва функции

\[f_n \]

, принимающей только значения 0 или 1, совпадает с

\[F_n \]

. то ф-ция

\[ f = \sum\limits_{n = 1}^\infty {3^{ - n} } f_n \]

является нужным примером.
2. Итак, осталось для произвольного замкнутого мн-ва

\[F\]

построить принимающую только значения 0 или 1 функцию

\[f\]

, мн-во т. разрыва которой совпадает с

\[F\]

. Это делается так: сначала доказывается, что из любого множества

\[F\]

на прямой можно выделить не более чем счетное подмножество

\[E\]

, замыкание которого совпадает с

\[F\]

, а затем достаточно положить

\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1\quad \;x \in E} \\ {0\quad x \notin E} \\\end{array}} \right.\]

[Tik-tak]

Спасиба Brukvalub. Но мне не удаётся доказать, что предлагаемая вами функция f разрывна на множестве F. Не могли бы вы написать поподробнее.[/math]

[RIP]

Tik-tak
К какой функции относится Ваш вопрос: $f=\sum3^{-n}f_n$ (п.1) или $f=\chi_E$ (п.2)?

[Tik-tak]

К первой

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что в каждой точке разрыва функции

\[f_n \]

ее колебание составляет

\[3^{ - n} \]

, поэтому возможные разрывы слагаемых ряда с большими номерами не могут устранить разрывы этой функции.

[Tik-tak]

Пасиба. За 30 сек до того как увидел ваш пост уже сам понял .