Характеристическая функция распределения

[Gaary_P]

Задание.
Найти характеристическую функцию распределения, имеющего плотность

$$p_\alpha(x)= \begin{cases} \alpha(1-\alpha\cdot|x|), |x|\le\alpha^{-1},\\ 0, |x|>\alpha^{-1}.\\ \end{cases} $$

Решение.
Характеристическая функция задаётся формулой:
$\varphi_x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}p_\alpha(x)d(x)$

Я решаю и у меня получается:
$\varphi_x(t)=\frac{\alpha^2\cdot (e^{\frac{it}{\alpha}}-1)^2}{t^2\cdot e^{\frac{it}{\alpha}}}$

Какие значения может принимать $t$? Любые?

[ewert]

Gaary_P в сообщении #660221 писал(а):

Какие значения может принимать $t$? Любые?

По определению любые. Только а) в нуле надо доопределять и б) конкретно этот ответ заведомо не может быть верным.

[Gaary_P]

Вот я правильно понимаю:
$\varphi_x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}p_\alpha(x)d(x)=\int_{-\infty}^{-\alpha^{-1}}0\cdot d(x)+\int_{-\alpha^{-1}}^{\alpha^{-1}}e^{itx}\alpha(1-\alpha|x|)d(x)+\int_{\alpha^{-1}}^{+\infty}0\cdot d(x)=\int_{-\alpha^{-1}}^{\alpha^{-1}}e^{itx}\alpha(1-\alpha|x|)d(x)$
Затем рассматриваем интегралы на промежутках от $-\alpha^{-1}$ до 0, и от 0 до $\alpha^{-1}$.

[--mS--]

Правильно понимаете.

[Gaary_P]

А как можно проверить правдоподобность ответа?
Вот пересчитала, получилось:
$\varphi=\frac{\alpha}{it}(e^{\frac{it}{\alpha}}-\frac{1}{e^{\frac{it}{\alpha}}}-\frac{it}{\alpha})$

[--mS--]

Снова неправильно получилось. Уж без $t^2$ в знаменателе точно не должно обойтись.

Проверить - для начала по простейшим свойствам. Например, предыдущая функция не могла быть х.ф. данного симметричного распределения, т.к. даже не являлась вещественнозначной. Последняя функция равна $\frac{2\sin(t/\alpha)}{t/\alpha}-1$, она вещественнозначна, но, к сожалению, её абсолютное значение превосходит единицу (минимум что-то около $-1{,}4$).

Аккуратнее интегрируйте.

[Gaary_P]

Может подскажете, где ошибка?
Вот получается:
$\int_{-\alpha^{-1}}^{\alpha^{-1}}e^{itx}\alpha(1-\alpha |x|)d(x)=\int_{-\alpha^{-1}}^{0}e^{itx}\alpha(1+\alpha x)d(x)+\int_{0}^{\alpha^{-1}}e^{itx}\alpha(1-\alpha x)d(x)=\newline =\int_{-\alpha^{-1}}^{0}e^{itx}\alpha d(x)+\int_{-\alpha^{-1}}^{0}e^{itx}\alpha^2xd(x)+\int_{0}^{\alpha^{-1}}e^{itx}\alpha d(x)- \int_{0}^{\alpha^{-1}}e^{itx}\alpha^2x d(x)=\newline =\alpha(\frac{e^{itx}}{it}) |_{-\alpha^{-1}}^{0}+\frac{\alpha^2e^{itx}(itx-1)}{i^2t^2}|_{-\alpha^{-1}}^{0}+\alpha(\frac{e^{itx}}{it}) |_{0}^{-\alpha^{-1}}-\frac{\alpha^2e^{itx}(itx-1)}{i^2t^2}|_{0}^{\alpha^{-1}}=\newline =\frac{\alpha}{it}-\frac{\alpha e^{-it\alpha^{-1}}}{it}-\frac{\alpha^2}{i^2t^2}+\frac{\alpha^2e^{-it\alpha^{-1}(it\alpha^{-1}+1)}}{i^2t^2} +\frac{\alpha e^{-it\alpha^{-1}}}{it}-\frac{\alpha}{it}- \frac{\alpha^2e^{it\alpha^{-1}(it\alpha^{-1}+1)}}{i^2t^2}-\frac{\alpha^2}{i^2t^2}=\newline =[i^2=-1]=\frac{\alpha}{it}-\frac{\alpha e^{-it\alpha^{-1}}}{it}+\frac{\alpha^2}{t^2}-\frac{\alpha^2e^{-it\alpha^{-1}(it\alpha^{-1}+1)}}{t^2}+\frac{\alpha e^{-it\alpha^{-1}}}{it}-\frac{\alpha}{it}+ \frac{\alpha^2e^{it\alpha^{-1}(it\alpha^{-1}+1)}}{t^2}+\frac{\alpha^2}{t^2}$$$
Дальше это надо все преобразовать, но $t^2$ все равно никуда не исчезнет

[--mS--]

А зачем оно должно исчезать? Преобразуйте. Я заниматься на форуме проверкой правильности интегрирования по частям и подстановки пределов точно не буду.

[ewert]

Gaary_P в сообщении #660999 писал(а):

Может подскажете, где ошибка?

Не знаю, где ошибка, но вижу, что это какое-то безумие. Человек -- всё-таки не Вольфрам и гонять формулки должен, оставаясь по возможности в сознании. Очевидно, что начать надо с замены $\alpha x=y$ и $\frac{t}{\alpha}=s$, т.е. с приведения интеграла к виду $\int\limits_{-1}^1e^{isy}(1-|y|)dy$. Его уже можно считать с относительным комфортом, но ещё лучше заметить, что в силу чётности это то же самое, что и $2\operatorname{Re}\int\limits_{0}^1e^{isy}(1-y)dy$. Последний интеграл считается совсем уж просто, а ответ оказывается ещё проще.