Аналитическая геометрия. Полярные координаты

[Sergunja]

Помогите с задачкой, похоже зашел в тупик.

Дана линия, заданная уравнением в полярной системе координат: $r = 3(1-\cos(\varphi))$
Найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью. И определите по полученному уравнению какая это линия.

Используя формулы перехода получаем:

$r = \sqrt{ x^2 + y^2 }$
$\cos(\varphi) = \frac{x}{\sqrt{ x^2 + y^2 }}$
Подставляем в уравнение линии:
$\sqrt{ x^2 + y^2 } = 3(1-\frac{x}{\sqrt{ x^2 + y^2 }})$

Если домножить на $\sqrt{ x^2 + y^2 }$ получим в итоге:

$ x^2 + y^2 = 3\sqrt{ x^2 + y^2 }-3x$

И что же это за линия? Как преобразовать далее я в тупике, берут сомнения, что это вообще тождество..

[Aritaborian]

Это кардиоида (по полярному уравнению её узнать проще).
Что касается декартова уравнения, вы не довели преобразование до конца. Осталось перенести $-3x$ налево и возвести в квадрат. Получаем вполне нормально выглядящее уравнение.

[Sergunja]

Получаем
$(x^2 + y^2 + 3x)^2 = 9(x^2 + y^2)$
$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 + 6x^3 + 6xy^2 - 9x^2 = 0$
По внешнему виду этого выражения я бы ничего не смог сказать, об этой кривой..

[alcoholist]

Sergunja в сообщении #647681 писал(а):

$ x^2 + y^2 = 3\sqrt{ x^2 + y^2 }-3x$

И что же это за линия?

ну, вот такая линия))) избавьтесь от корня -- кривая... четвертый порядок

[Aritaborian]

Sergunja, в данном случае не нужно раскрывать скобки после последнего возведения в квадрат. Каноническое уравнение записывается со скобками в квадратах. Посмотрите в Вике и на Mathworld.

[Sergunja]

Интересно, а кривая $r=5(4-3\cos(\varphi))$
или в декартовых координатах: $(x^2+y^2+15x)^2 = 400(x^2+y^2)$
тоже будет кардиоидой ? не особо похожа, да и в общем уравнении кардиоиды $r=a(1-\cos(\varphi))$для a при переходе к декартовым координатам $15^2 $ не равно 400
Смотрел на mathworld, не нашел аналога.

[Someone]

Это улитка Паскаля: $r=a\cos\varphi+l$. Является конхоидой окружности радиуса $\frac a2$ с центром в точке $\left(\frac a2,0\right)$ (в декартовых координатах) относительно начала координат.

[Aritaborian]

Sergunja, вам в помощь Wolfram|Alpha (с математическими пакетами вы, по всей видимости, не дружите). Задайте формулу, получите график. Вот, например, последняя из упомянутых вами кривых.

[Sergunja]

Да кривую-то я построил, но надо было определить тип кривой, назвать как то, кстати дружу с маткадом, но построил в данном случае по точкам, спасибо за ссылку, помогло.

[ewert]

(Оффтоп)

Sergunja в сообщении #659711 писал(а):

но надо было определить тип кривой, назвать как то,

Это где ж такие вопросики-то задают -- "как назвать"?... Называть следует конкретные уравнения. А уж кардиоиду они описывают или там проктоиду -- подобные вопросы в приличном обществе задавать не принято.

[Aritaborian]

Sergunja

(Оффтоп)

Маткад — бяка. Завязывайте с ним и переходите на Mathematica.