Как свести интеграл к комплексному?

[Bars]

Интеграл

$$ I = \int_{-\pi}^{\pi} \! \frac{\mathrm dt}{(5 + 3\sin t)^3} $$

Судя по всему его нужно свести к комплексному, типа $ I = \operatorname{Im} \int_{-\pi}^{\pi} \dots \, \mathrm dt $ по аналогии с

$$\int \! \sin t \, \mathrm d t =\operatorname{Im} \int \! e^t \, \mathrm dt$$

Но здесь мешает куб и дробная черта. Главным образом, куб.
Что делать ?

[ewert]

(Оффтоп)

собственно, чего его сводить -- он и так комплексный, поскольку вещественный

Он не так "сводится к комплексному", а формальной заменой $e^{it}=z$, поскольку $e^{it}$ участвует в синусе. И ничто этой замене помешать не в силах.

[Bars]

Что-то странное получается:

$$I = \int \limits^{\pi}_{-\pi} \! \frac{\mathrm dt}{(5 + 3\sin t)^3} = \begin{vmatrix}z = e^{it} \\ \mathrm dz = z \mathrm dt \\ e^{\pm i \pi} = -1\end{vmatrix} \stackrel?= \int \limits_{-1}^{-1} \! \frac{z^2 \mathrm dt}{z(5 + \frac{3}{2i}(z - \frac1z))^3} \eqno (1)$$

Последний интеграл, получается, равен нулю.
Почему так?
Поможет ли разбиение $(-\pi, \pi)$ на $(-\pi, s)$ и $(s, \pi)$ ?

[ewert]

Bars в сообщении #660632 писал(а):

Последний интеграл, получается, равен нулю.

В любом варианте не получается. Кроме того, преобразовано неверно. Кроме того, пределы совсем уж неуместны -- после этой замены интеграл станет контурным. (Полезна ли эта замена с практической точки зрения -- вопрос отдельный.)

[Bars]

Тогда так

$$I = \int \limits_{|z| = 1} \! \frac{\mathrm dz}{z \left (5 + \dfrac{10}{2i}\left(z - \dfrac1z \right) \right )^3} \eqno (2)$$

Дальше, наверное, нужно вычеты использовать