Уравнение Бернулли.

[patrickj]

Уравнение:
$y'= \frac {1+x}{x} \cdot y - x \cdot y^2$
Общее решение нашел(правильно):
$y = \frac{x \cdot e^x}{e^x \cdot(x^2 - 2\cdot x + 2) + C}$
Необходимо решить Задачу Коши $y(0) = 0$
Подставляя начальные данные, получаем, что для любого $C$ каждое решение будет проходить через точку $(0,0)$ . Такое возможно, или здесь как-то не так надо решать?

[ewert]

patrickj в сообщении #659135 писал(а):

для любого $C$ каждое решение будет проходить через точку $(0,0)$ . Такое возможно,

Вполне, т.к. ноль является особой точкой для этого уравнения (в том виде, в котором оно было выписано) и, соответственно, такая задача Коши просто не имеет смысла. Если же переписать уравнение в виде $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$, то начало координат будет для него полюсом (если, конечно, решение выпмсано верно -- не проверял).

[patrickj]

ewert
Спасибо.

[patrickj]

Прошу прощения.
Условие задачи понял неправильно.
Надо решить задачу Коши в точке $(x_0,y_0)$
Имею общее решение:
$y = \frac {x \cdot e^x}{e^x \cdot( {x^2-2 \cdot x + 2}) + C}$
Решаю задачу Коши:
$C = \frac {x_0 \cdot e^{x_0} - y_0 \cdot e^{x_0} \cdot (x_0^2-2 \cdot x_0 + 2)}{y_0}$
Получаю:
$y = \frac {x \cdot e^x}{e^x \cdot( {x^2-2 \cdot x + 2}) + \frac {x_0 \cdot e^{x_0} - y_0 \cdot e^{x_0} \cdot (x_0^2-2 \cdot x_0 + 2)}{y_0}}$

Мой ненасытный преподаватель спросил, а существуют ли решения, продолжимые на всю вещественную ось?
Ребята, пожалуйста, подскажите мне ресурсы/книги, где я могу прочитать про продолжимость решений и понять.
Занимаемся по Матвееву, там об этом и слова не упоминается.

Нашел в книге Пантрягина определение продолжения решения.
Что если два решения проходят через одну точку и на некотором общем интервале совпадают, что решение, определенное на интервале, содержащем другой интервал, будет продолжением решения, определенного на содержащемся интервале. Но это определение мне ничего не дает