Логарифм с иксом в основании

[Fanday]

Здравствуйте.
Вопрос по теме школьной программы из единого государственного экзамена.

Такая вот у меня система:

$$ \begin{cases} 2^{2x+1} - 2^{x+2} - 2^x \le 3\\ \log_{x+\frac{2}{9}}3 \le \log_{\sqrt{x}}3 \end{cases} $$

Верхнюю часть решил, и у меня получилося такой вот ответ: $x \ge \log_2{3}$

Нижняя часть вызвала задтруднения:

Для начала нашел ОДЗ:

$$ \begin{cases} x+\frac{2}{9} > 0\\ x+\frac{2}{9} \not= 1\\ \sqrt{x} > 0\\ \sqrt{x} \not= 1\\ x \ge 0 \end{cases} $$

Из них вроде соответственно вытекает:

$$ \begin{cases} x> -\frac{2}{9}\\ x \not= \frac{7}{9}\\ x > 0 & \text{(можно ведь брать обе части в квадрат в неравенствах?)}\\ x \not= 1\\ x \ge 0 \end{cases} $$

То есть: $x \in (0;\frac{7}{9})\cup(\frac{7}{9};1)\cup(1;\infty)$

Но основной вопрос всё же в другом.
Когда перейду к непосредственному решению неравенства $\log_{x+\frac{2}{9}}3 \le \log_{\sqrt{x}}3$, мне нужно будет перевести оба логарифма к основанию $3$, что я успешно и сделаю, воспользовавшись формулой:

$\frac{1}{\log_3{(x+\frac{2}{9})}}$ \leqslant \frac{1}{\log_3{\sqrt{x}}}

И вот можно ли в этот момент тупо написать следующее? ->
$\log_3{\sqrt{x} \leqslant \log_3{(x+\frac{2}{9})}}$
Справедливо ли я к этому прихожу?

Обычно те неравенства, в которых присутствует $x$ в основании, у меня раздваивались на те, где основание больше одного, и на те, где основание от нуля до одного. В тех случаях, где я пользуюсь этой формулой логарифмов, этого уже не нужно было делать?

Спасибо.

[Chernoknizhnik]

Когда $1/a\ge 1/b$ влечет за собой $a\le b$?

[Fanday]

Chernoknizhnik в сообщении #659017 писал(а):

Когда $1/a\ge 1/b$ влечет за собой $a\le b$?

Да, я в этом засомневался, но предположил, что так.

Чем на большее число мы делим 1, тем меньшее число у нас выходит.
$1/1$ явно больше, чем $1/2$ ($1<2$). И так любые числа. Нет?

[Chernoknizhnik]

А если вот так: $1/(-2)\le 1/3$?

[Fanday]

Chernoknizhnik в сообщении #659023 писал(а):

А если вот так: $1/(-2)\le 1/3$?

Мдэ. Убедили. Спасибо большое.

В таком случае, что нужно делать, когда пришел к такому выражению?

И вопрос остается в силе: икс в основании после использования формулы уже не влечет за собой разделение неравенства на две части?

[Chernoknizhnik]

Ну как с таким неравенством поступают $1/a\ge 1/b$? Берут, да домножают на $ab$, внимательно следя за тем, нужно ли менять знак неравенства (а от чего это зависит?). И еще подумайте насчет возведения в квадрат неравенств ($2\ge -3$, но...).

[Fanday]

Цитата:

Берут, да домножают на $ab$

То есть по-моему можно перекинуть всё в одну часть и под общий знаменатель занести?

Цитата:

внимательно следя за тем, нужно ли менять знак неравенства (а от чего это зависит?)

Ага, нужно уточнить, не делим ли мы на отрицательное число.

Цитата:

И еще подумайте насчет возведения в квадрат неравенств (, но...).

Спасибо вам большое. Понял, что в квадрат обе части в неравенствах возводить нельзя, так как в одной из частей может иметься отрицательное число, о чем мы понятия не имеем.

-- 16.12.2012, 11:14 --

Chernoknizhnik в сообщении #659028 писал(а):

Ну как с таким неравенством поступают $1/a\ge 1/b$? Берут, да домножают на $ab$, внимательно следя за тем, нужно ли менять знак неравенства

Я всё-таки задумался поглубже и не пойму, как мне понять, будет меняться знак или нет. То есть мне нужно будет определить, степень, в которую нужно возвести $3$, чтобы получить $x+2/9$ положительная или отрицательная?

[Chernoknizhnik]

Советую вам посмотреть на работу с неравенствами чуть по-новому: есть у нас неравенство $a\ge b$, а нам интересно, будет ли верно также, что $f(a)\ge f(b)$, где $f$ - некоторая функция, область определения которой включает числа $a$ и $b$. Вы же знаете, что такое монотонная функция? Например, $f(x)=x^2$ монотонна, но не везде, а где? $f(x)=ax$ тоже монотонна, но характер монотонности (убывание/возрастание) зависит от $a$ (каким образом?).
Поэтому мы можем и возводить в квадрат неравенства, и умножать их на числа (т.е., соответственно, применять к обеим частям равенства функции $f_{1}(x)=x^2$ и $f_{2}(x)=ax$), надо только задумываться о монотонности и быть аккуратным.

[Fanday]

Chernoknizhnik в сообщении #659040 писал(а):

Советую вам посмотреть на работу с неравенствами чуть по-новому: есть у нас неравенство $a\ge b$, а нам интересно, будет ли верно также, что $f(a)\ge f(b)$, где $f$ - некоторая функция, область определения которой включает числа $a$ и $b$. Вы же знаете, что такое монотонная функция? Например, $f(x)=x^2$ монотонна, но не везде, а где? $f(x)=ax$ тоже монотонна, но характер монотонности (убывание/возрастание) зависит от $a$ (каким образом?).
Поэтому мы можем и возводить в квадрат неравенства, и умножать их на числа (т.е., соответственно, применять к обеим частям равенства функции $f_{1}(x)=x^2$ и $f_{2}(x)=ax$), надо только задумываться о монотонности и быть аккуратным.

Спасибо ещё раз вам за подробные ответ.
Но прошу извинить, так как мне было несколько сложно уловить то, что вы только что написали.

Дело вот в чем: моя цель - это сдать ЕГЭ, то есть научиться решать в том числе подобные неравенства. Суть их меня не особо интересует. К примеру, я особого понятия, что такое производная то и не имею, но решать B8 мне это не мешает.

И так:

$\frac{1}{\log_3{(x+\frac{2}{9})}}$ \leqslant \frac{1}{\log_3{\sqrt{x}}}$

Чтобы избавиться от знаменателя, мне нужно обе части умножить на $\log_3{\sqrt{x}}\log_3{(x+\frac{2}{9})}$. Но в чем проблема? Я не знаю, отрицательные они или положительные.

[Chernoknizhnik]

Я понимаю, что ваша цель - сдать госэкзамен, но некоторое расширение кругозора существенно упростит вашу задачу.
Так рассмотрите несколько случаев: 1й - когда это проивзедение отрицательно, 2й - когда положительно.

[Fanday]

Цитата:

Так рассмотрите несколько случаев: 1й - когда это проивзедение отрицательно, 2й - когда положительно.

Всё, понял, спасибо.
Значит два случая нужно будет решить и рассмотреть их системно.

[Praded]

$\frac{1}{\log_3{(x+\frac{2}{9})}}\leqslant \frac{1}{\log_3{\sqrt{x}}}\Leftrightarrow\frac{1}{\log_3{(x+\frac{2}{9})}}-\frac{1}{\log_3{\sqrt{x}}}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{{\log_3{\sqrt{x}}}-\log_3{{(x+\frac{2}{9})}}}{{\log_3{(x+\frac{2}{9})}}\cdot{\log_3{\sqrt{x}}}}\leqslant 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow \frac{{\log_3\frac{{\sqrt{{x}}}}{{(x+\frac{2}{9})}}}}{{\log_3{(x+\frac{2}{9})}}\cdot{\log_3{\sqrt{x}}}}\leqslant 0$

Далее метод интервалов. Случаев будет не два, к сожалению...

[bot]

(Оффтоп)

Второе неравенство системы - это 4-я задача варианта 2.1 из вступительных экзаменов в НГУ в 1997г. Первое неравенство нарисовали на коленке и к нему пришпандорили.