Сложный интеграл.

[Andrei94]

$\displaystyle\int\dfrac{\cos(ax)}{1+x^2}dx$

Есть идея дифференцировать по параметру только. Но это уже усложняет только все? Как оптимально его взять?

[Someone]

Он через элементарные функции не выражается. Или там ещё пределы интегрирования были?

[Andrei94]

Точно, забыл про них

$\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\cos(ax)}{1+x^2}dx$

[Someone]

А какую дисциплину изучаете-то? Функции комплексной переменной? Тогда с помощью вычетов.

[Andrei94]

Someone в сообщении #658909 писал(а):

А какую дисциплину изучаете-то? Функции комплексной переменной? Тогда с помощью вычетов.

Не, интегралы с параметрами, Эйлеровы интегралы. Это из Демидовича 3825.

Указание там еще есть. Воспользоваться $\dfrac{1}{1+x^2}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-y(1+x^2)}dy$

Не пойму - чем может помочь указание..

[Someone]

Ну, можно попробовать рассмотреть вместо Вашего интеграла

$$I(a,\lambda)=\int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{-\lambda x}\cos ax}{1+x^2}dx,$$

дважды его продифференцировать по $a$, получится дифференциальное уравнение... Потом перейти к пределу при $\lambda\to 0^+$. Не забыть ещё обосновать законность всего этого безобразия.

-- Вс дек 16, 2012 01:10:45 --

Пока писал, Вы дополнение сделали. Так тоже можно. После указанной замены нужно переставить пределы интегрирования, из внутреннего интеграла вынести множитель, не зависящий от $x$, и воспользоваться интегралом 3809. Если я ничего не напутал.

[SpBTimes]

Ну можно и просто продифференцировать по параметру.
$J'(a) = -\int_0^{\infty} \frac{x\sin(ax)dx}{1 + x^2}$
Равномерная сходимость по Дирихле будет при $|a| > \alpha_0 > 0$
Преобразуем $\frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x(1 + x^2)}$
И тогда $J'(a) = -\frac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \frac{\sin(ax)dx}{x(1 + x^2)}$
И очевидно $J''(a) = J(a)$