Функция распред.

[ole-ole-ole]

Помогите, пожалуйста, разобраться.

Плотность вероятности задается формулой

$f_\xi(x)=\begin{cases} 1-|x|,\;\;\;\;|x|\le 1 \\ 0,\;\;\;\;|x|>1 \end{cases}$

Найти функцию распред.

$F_\xi(x)=\begin{cases} 0,\;\;\;\;\;\;x\le -1\\ \displaystyle \int_{-1}^x (1+t)dt,\;\;\;\;-1<x\le 0 \\ \displaystyle \int_{0}^x (1-t)dt,\;\;\;\;0<x\le 1 \\ 1,\;\;\;\;x>1 \end{cases}$

Верно?

[gris]

Правильно. Ну разве что интегральчики посчитать.
Упс.
Второй интегральчик-то приподнять забыли.

[--mS--]

Посчитать, нарисовать график получившейся функции, изучить свойства функции распределения, потом проверить по графику, выполнены ли они, и начать искать ошибку.

[ole-ole-ole]

--mS-- в сообщении #658513 писал(а):

Посчитать, нарисовать график получившейся функции, изучить свойства функции распределения, потом проверить по графику, выполнены ли они, и начать искать ошибку.

Ок, тогда сначала посчитаю. Спасибо

$F_\xi(x)=\begin{cases} 0,\;\;\;\;\;\;x\le -1\\ \displaystyle 0,5x^2+x+0,5,\;\;\;\;-1<x\le 0 \\ \displaystyle x-0,5x^2,\;\;\;\;0<x\le 1 \\ 1,\;\;\;\;x>1 \end{cases}$

Получилось, что функция распределения не везде возрастает, свойство возрастания нарушено. А в чем ошибка, подскажите, пожалуйста!

[--mS--]

Как функция распределения вычисляется по плотности?

[ole-ole-ole]

--mS-- в сообщении #658517 писал(а):

Как функция распределения вычисляется по плотности?

$F_\xi(x)=\displaystyle \int_{-\infty}^x f_\xi(t) dt$

[--mS--]

Ну и посчитайте, например, $F_\xi(0{,}5)$.

[ole-ole-ole]

--mS-- в сообщении #658520 писал(а):

Ну и посчитайте, например, $F_\xi(0{,}5)$.

$$F_\xi(0{,}5)=\displaystyle \int_{-1}^0 (1+t)dt+\displaystyle \int_{0}^{0,5} (1-t)dt=(t+0,5t^2)\Bigg|_{-1}^0 +(t-0,5t^2)\Bigg|_{0}^1= 0,5+0,5-0,125=0,875$$

-- 14.12.2012, 23:31 --

Вообще, есть идея записать $F_\xi(x)=\begin{cases} 0,\;\;\;\;\;\;x\le -1\\ \displaystyle \int_{-1}^x (1-|t|)dt,\;\;\;\;-1<x\le 1 \\ 1,\;\;\;\;x>1 \end{cases}$

Но ведь вот такой интеграл $\displaystyle \int_{-1}^x (1-|t|)dt$ нужно как-то раздробить, ибо $x$ может быть как положительным, так и отрицательным, но ведь интеграл от модуля удобнее всего брать, разбивая на случаи, но я вот не знаю - по какую сторону от нуля он окажется!

[ole-ole-ole]

О, я кажется догадался!

$F_\xi(x)=\begin{cases} 0,\;\;\;\;\;\;x\le -1\\ \displaystyle \int_{-1}^x (1+t)dt,\;\;\;\;-1<x\le 0 \\ \displaystyle \int_{-1}^0 (1+t)dt+\displaystyle \int_{0}^x (1-t)dt,\;\;\;\;0<x\le 1 \\ 1,\;\;\;\;x>1 \end{cases}$

[gris]

Вчера я, как и Вы, наверное, по чистой невнимательности, не заметил отсутствия $0,5+$ перед вторым интегралом. В Вашем последнем сообщении Вы правильно нашли $F_\xi(0.5)$, правильно разбили интеграл на два.
Если $x>0$, то

$$F_\xi(0<x<1)=\displaystyle \int_{-1}^0 (1+t)dt+\displaystyle \int_{0}^{x} (1-t)dt=(t+0,5t^2)\Bigg|_{-1}^0 +(t-0,5t^2)\Bigg|_{0}^x= 0,5+(x-0,5x^2)$$

О! Да Вы и сами догадались