Планиметрия Лобачевского

[puma-zay4ik]

Задача: Треугольник, дефект которого равен единице, имеет единичную площадь. Доказать, что площадь любого $n-$угольника меньше $(n-2)\pi$.
Доказательство
Известны следующие формулы:
(1) дефект треугольника $D(\Delta)=\pi-S(\Delta)$, где $S(\Delta)$-сумма внутренних углов треугольника и меньше $\pi$;
(2) площадь треугольника $f(\Delta)=kD(\Delta)$, где $k$-положительная постоянная;
(3) площадь треугольника ещё записывается, как $G(\Delta)=k(\pi-\alpha-\beta-\gamma)$.
Выходит, что многоугольник разбиваем на $n$ треугольников. Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников.
Вначале я пользуюсь тем, что $D(\Delta)=1$ и $f(\Delta)=kD(\Delta)=k=1$, то есть площадь треугольника равна дефекту. Потом записываю площадь многоугольника
$G(m)=G(\Delta 1)+G(\Delta 2)+...+G(\Delta n)=D(\Delta 1)+D(\Delta 2)+...+D(\Delta n)=\pi-S(\Delta 1)+\pi-S(\Delta 2)+...+\pi-S(\Delta n)=\pi n-(S(\Delta 1)+S(\Delta 2)+...+S(\Delta n))=\pi n-(S(m)-2\pi)$.
С другой стороны $S(m)+2\pi<\pi n$ и не выходит доказать то, что нужно
В книге нашла фразу, что Площадь многоугольника с $n$ боками будет недостаток в сумме его углов до $(n-2)\pi$. То есть если записать это в виде формулы, как я поняла $G(m)=(n-2)\pi-S(m)$, если строго это оценить, то получим то, что нужно. Но нужно тогда доказать само это утверждение. Идёт сноска, что "для треугольников дефект и площадь совпадают, а так как они аддитивны, то это совпадение имеет место для любого многоугольника. Таким образом, здесь Лобачевский пользуется аддитивностью площади." И честно говоря я вообще это что-то не понимаю...В общем может есть способ доказать это как-то проще...

[BVR]

Я не вижу связи первого предложения задачи со вторым. Или это две разные задачи?

[Null]

Разбейте многоугольник на $n-2$ треугольника(диагоналями из 1 вершины).