Куб и плоскость

[Pyphagor]

Дана плоскость. Существует ли куб, расстояния от вершин которого до плоскости
равны 0,1,2,3,4,5,6,7?

[maxal]

Преположим, что такой куб существует.
Заметим, что для каждой грани куба суммы расстояний до плоскости на диаметральных вершинах совпадают. Отсюда сразу следует, что соседи вершины лежащей на плоскости (то есть, с расстоянием 0) имеют расстояния 1,2,4. При этом у вершины с расстоянием 1 соседи имеют расстояния 0,3,5; у вершины с расстоянием 2 соседи имеют расстояния 0,3,6; у вершины с расстоянием 4 соседи имеют расстояния 0,5,6.

Зафиксируем систему координат, с центром O в "нулевой" вершине куба так, что плоскость xOy совпадает с данной, а одна из вершин (понятно какая) имеет координаты (u,0,1). Необходимо проверить, что 3 соседа нулевой вершины могут быть получены вращением из стандартной тройки (s,0,0), (0,s,0), (0,0,s), где s - стороны куба. Получаем матричное уравнение:

$$R\cdot\begin{bmatrix}s&0&0\\0&s&0\\0&0&s\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u&0&1\\v&w&2\\z&t&4\end{bmatrix},$$

где $R$ - некоторая матрица вращения. Откуда:

$$R = \frac{1}{s}\begin{bmatrix}u&0&1\\v&w&2\\z&t&4\end{bmatrix}.$$

В частности, так как R является ортогональной матрицей, то $2w + 4t = u+2v+4z = wv + zt =0$ и следовательно:

$$R = \frac{1}{s}\begin{bmatrix}-10v&0&1\\v&-2t&2\\2v&t&4\end{bmatrix}.$$

Также, в виду det(R)=1 получаем $s^3=105 t v.$
В частности, при $s=5$, $t=-\frac{5}{2}$ и $v=-\frac{10}{21}$ получаем:

$$R=\begin{bmatrix}\frac{20}{21} & 0 & \frac{1}{5}\\ -\frac{2}{21} & 1 & \frac{2}{5}\\ -\frac{4}{21} & -\frac{1}{2} & \frac{4}{5}\end{bmatrix}$$

Нетрудно проверить, что эта матрица является матрицей вращения.
Вердикт: искомый куб существует, причем его сторону можно взять равной 5.

[luitzen]

Это М1559 из №5 «Кванта» за 1996 год :)
Решение: «Квант», №1, 1997, с. 29.