Алгебраически замкнуто ли C((z))

[aurelio]

Добрый день. Всю голову себе сломал задачкой:
Дан $p(z) = \sum \limits_{ k=-\infty }^{ \infty } p_kz^k, \; p_k \in \mathbb{C},$ - элемент поля $\mathbb{C}((z))$,

причём все $p_k$ c $k<0$, кроме конечного числа, равны нулю.

Как мне показать алгебраическую замкнутость данного поля?

[ИСН]

Ну э. Разве ж сумма многочленов - не многочлен?

[g______d]

А это правда? Вот, например, как разложить в такой ряд $\sqrt{z}$? Я понимаю, что это не обычный ряд Тейлора/Лорана, т. к. сходимость понимается по-другому, но все равно не понятно.

-- 11.12.2012, 18:34 --

Подозреваю, что ответ "нет", и алгебраическим замыканием будет это

http://en.wikipedia.org/wiki/Puiseux_series

[aurelio]

Если ряды Пюизо алгебраическое замыкание формальных рядов Лорана, то для последних хотелось бы определить контрпример.

[g______d]

Очевидно, что не существует ряда Лорана, квадрат которого равен $z$.

-- 11.12.2012, 19:32 --

Доказывать от противного и посмотреть на слагаемое минимальной степени.

[aurelio]

С одной стороны, имеем квадрат слагаемого старшей степени. С другой стороны, квадрат любого формального ряда Лорана будет порядка не меньше второго, т.е. $a^{2}_1\frac{1}{z^2}+...=z$. Что-то не получается противоречия. Может, как-то ещё можно?

[g______d]

Точно не получается? Минимальная степень квадрата любого ряда Лорана четна. А у $z$ минимальная степень равна $1$. Значит, уравнение $S^2=z$ не разрешимо относительно $S$ в классе рядов Лорана.

[aurelio]

А. Понял, спасибо.