Время достижения особой точки системы оду. Где можна найти?

[bossyara]

Подскажите пожайлуста. Есть система двух нелинейных диффернциальных уравнений. Найдена особая точка, которая является устойчивым узлом. Вопрос, можна ли определить время которая застрачивает система на достижение особой точки от нулевого момента времени. Може существует какая-нибудь методология. В идеале это время должно быть выражено через параметры системы. Поиск не помог. Буду рад любым конструктивным подсказкам.

[VPro]

На всякий случай задам 2 вопроса:
1) для системы условия единственности решений выполнены?
2) что Вы понимаете под словами "достижение особой точки"?

[bossyara]

1) - не проверял.
2) - достижение особой точки, это когда решение системы в определенный момент достигло равновесного положение и является постоянным.

[Sonic86]

bossyara в сообщении #657553 писал(а):

Вопрос, можна ли определить время которая застрачивает система на достижение особой точки от нулевого момента времени.

Попробуйте ручками подсчитать время достижения устойчивого узла для системы $x(t)=e^{-t}, y(t)=e^{-t}$. Ответ недвусмысленно намекает на общий ответ.

[olenellus]

Вообще говоря, если ответ на вопрос 1) отрицательный, то "общий ответ" может оказаться конечным.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: перенес в соответствующий раздел

[Sonic86]

olenellus в сообщении #657604 писал(а):

Вообще говоря, если ответ на вопрос 1) отрицательный, то "общий ответ" может оказаться конечным.

А, да, точно Ну вопрос был в общем виде задан, я в общем виде и ответил

[VPro]

bossyara в сообщении #657565 писал(а):

1) - не проверял.
2) - достижение особой точки, это когда решение системы в определенный момент достигло равновесного положение и является постоянным.

1) Если Вам удалось установить тип особой точки, значит Вам удалось линеаризовать систему в окрестности точки. А, значит, решения системы в этой окрестности единственны.
2) У Вас есть 2 решения системы: сама особая точка и рассматриваемая траектория. Что можно сказать об их пересечении с учетом п.1?

[bossyara]

Точка - это устойчивый узел. Есть и решение (численное т.е. траектория) и символьно заданая точка. Наверное надо систему показать, сейчас поиграюсь с редактором.

[Sonic86]

bossyara в сообщении #657650 писал(а):

Точка - это устойчивый узел. Есть и решение (численное т.е. траектория) и символьно заданая точка. Наверное надо систему показать, сейчас поиграюсь с редактором.

Сразу следует учесть, что время достижения устойчивого узла и время приближения к узла на расстояние, не превосходящее $\epsilon>0$ - это разные вещи.

[bossyara]

$ \begin {cases} {{dp} \over {dt}} = {k_1}\left({{{1+m} \over{1+y}}-p} \right), \\ {{dy} \over {dt}} = {k_2}\left({{{dm} \over{p^2}}-y} \right). \end{cases} $

Сама особая точка
$ \begin {cases} {p} = ({1+m-dm} \right), \\ {y} = {{1+m} \over {1+m-dm}} \right). \end{cases} $

В конце концов для любых параметров m, d система успокаиватся в своей особой точке, вот мне надо уловить эту связь, как время зависит от параметров.

-- Ср дек 12, 2012 20:49:07 --

Мене важно не просто время, а существует ли метода определения времени в символьном виде, где учтены параметры?