Векторный анализ. Правильно?

[Freeman-des]

$\operatorname{rot}[\vec{b},\vec{r}]=\vec{b}(\operatorname{div}\vec{r})-\vec{r}(\operatorname{div}(\vec{r}))$

Так?

[мат-ламер]

(Оффтоп)

По поводу этого пытался вспомнить некое мнемоническое правило, которое выражает тройное векторное произведение через БАЦ-ЦАБ.

-- Ср дек 12, 2012 19:51:57 --

В Википедии есть статья Формулы векторного анализа. См. там самую нижнюю формулу.

(Оффтоп)

Как она получается - не помню.

-- Ср дек 12, 2012 19:57:48 --

В этой формуле в Википедии описка (знак + вместо равенства). У топикстартера тоже в конце описка.

[olenellus]

Да "бац минус цаб" и есть
Ошибку найдите и исправьте.
А легче всего доказывается, наверно, через тензорную запись в координатах.

[fancier]

Цитата:

В этой формуле в Википедии описка (знак + вместо равенства).

Нет ошибки, там 4 слагаемых (или 3 если записать через скобку Пуассона).

[lek]

olenellus в сообщении #657586 писал(а):

А легче всего доказывается, наверно, через тензорную запись в координатах.

Совсем просто, если воспользоваться формулой для двойного векторного произведения

$$ \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}. $$

Заменяя $\vec{A}$ на оператор $\nabla$ и замечая, что

$$ rot\vec{A}\equiv\nabla\times\vec{A},\qquad div\vec{A}\equiv\nabla\cdot\vec{A}, $$

получаем

$$ \begin{align} rot(\vec{B}\times\vec{C})&=\nabla\times(\vec{B}\times\vec{C})\\ &=\nabla_{B}\times(\vec{B}\times\vec{C})+\nabla_{C}\times(\vec{B}\times\vec{C})\\ &=(\nabla_{B}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\nabla_{B}\cdot\vec{B})\vec{C}+(\nabla_{C}\cdot\vec{C})\vec{B}-(B\nabla_{C})\vec{C}\\ &=(\vec{C}\cdot\nabla)\vec{B}-\vec{C}\,div\,\vec{B}+\vec{B}\,div\,\vec{C}-(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{C}. \end{align} $$

[fancier]

Цитата:

получаем

$$rot(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\,div\,\vec{C}-\vec{C}\,div\,\vec{B}. $$

Эта формула, вообще говоря, неверна. См. например Лекции по векторному анализу М.В. Лосика http://www.sgu.ru/files/nodes/13018/vector.pdf, с. 50.

[мат-ламер]

Уважемые знатоки вектрного анализа. Извиняюсь за ламерский вопрос, а что означает скалярное произведение вектора с наблой, где набла справа? Формулы векторного анализа.

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #657647 писал(а):

что означает скалярное произведение вектора с наблой, где набла справа?

Дифференциальный оператор $(a, \nabla) = a_x \frac{\partial}{\partial x} + a_y \frac{\partial}{\partial y} + a_z \frac{\partial}{\partial z}$

[lek]

fancier в сообщении #657638 писал(а):

Эта формула, вообще говоря, неверна.

Исправил...

[мат-ламер]

lek
А что у Вас означает $\nabla_B$ ?

[lek]

Дифференцирование по первому сомножителю. Оператор $\nabla$ по отношению к дифференцированию - знак производной, а по отношению к правилам преобразования координат - вектор, поэтому и умножается как всякий вектор.

[Утундрий]

Иногда тяга ко всему безкоординатному может сыграть шутку... А вот Р. Пенроуз, например, не стесняется (он упоминает об этом в "Пути к реальности", кажется) в некоторых запутанных случаях попросту провести вычисления в компонентах, а уж потом оформить "как принято".

[lek]

Это верно... Отталкиваясь от формулы

$$ \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B}), $$

"получаем" одно, а переписав ее в виде

$$ \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}, $$

уже другое...

[olenellus]

lek в сообщении #657632 писал(а):

Совсем просто, если воспользоваться формулой для двойного векторного произведения

А теперь сравните с координатным доказательством:

$$\varepsilon_{ijk}\partial_j(\varepsilon_{klm}b_lr_m)=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}(b_l\partial_jr_m+r_m\partial_jb_l)=$$

$$=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})(b_l\partial_jr_m+r_m\partial_jb_l)=b_i\partial_jr_j-r_i\partial_jb_j+r_j\partial_jb_i-b_j\partial_jr_i$$

И как результат:

$$\operatorname{rot}[\vec{b},\vec{r}]=\vec{b}\operatorname{div}\vec{r}-\vec{r}\operatorname{div}\vec{b}+\{\vec{r},\vec{b}\}$$

Можно возразить, что для доказательства требуется вывод тождества $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}=\delta_{jl}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$, но он не сложнее, чем вывод "бац минус цаб".

Ещё раз глянул на оба доказательства... Ну, нельзя сказать, что в компонентах получилось короче... однако координатное доказательство можно провести, пользуясь только спинным мозгом

[ewert]

В сомнительных случаях принято помечать функции, на которые фактически действует дифференциальный оператор, точечкой -- и переставлять потом по мере возможности сомножители так, чтобы необходимость в точечках исчезла. Тогда всё банально:

$$\vec\nabla\times(\vec A\times\vec B)=\left(\dot{\vec A}(\vec\nabla\cdot\vec B)+\vec A(\vec\nabla\cdot\dot{\vec B})\right)-\left(\dot{\vec B}(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec B(\vec\nabla\cdot\dot{\vec A})\right)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A).$$

Последний переход корректен потому, что скалярное произведение коммутативно, а умножать что вектор на число, что число на вектор -- это одно и то же.

Конечно, формально всё это оправдывается тем, что в координатной записи ровно так и получится. Но именно поэтому явная координатная запись и излишня.