Модуль

[xmaister]

Добрый вечер! Пусть $M$- $A$-модуль и $\{M_i\}_{i\in I}$- семейство подмодулей. Даны гомоморфизмы включения $\lambda_i:M_i\to M$, тогда имеем индуцированный гомоморфизм $\lambda_*:\prod\limits_{i\in I}M_i\to M$, т.ч. для любого семейства элементов $(x_i)_{i\in I}$, среди которых все кроме конечного числа равны $0$, $\lambda_*((x_i))=\sum\limits_{i\in I}x_i$. Гомомофризм включения в данном случае- тождественное вложение? А как определить $\lambda_*$, если $(x_i)_{i\in I}$ не равно нулю для бесконечного множества $J\subset I$?

-- 12.12.2012, 19:59 --

UPD: Кусок текста, написанного выше взят из Ленга.

[fancier]

xmaister в сообщении #657552 писал(а):

Пусть $M$- $A$-модуль и $\{M_i\}_{i\in I}$- семейство подмодулей. Даны гомоморфизмы включения $\lambda_i:M_i\to M$, тогда имеем индуцированный гомоморфизм $\lambda_*:\prod\limits_{i\in I}M_i\to M$

В случае бесконечного $I$ такого гомоморфизма нет: копроизведение модулей есть $\oplus_{i\in I}M_i$.

Цитата:

А как определить , если не равно нулю для бесконечного множества ?

В общем случае никак.

[xmaister]

fancier в сообщении #657580 писал(а):

В случае бесконечного $I$ такого гомоморфизма нет: копроизведение модулей есть $\oplus_{i\in I}M_i$.

Не понятно, а причем здесь копроизведение? Оно же существует в категории $A$-модулей. А так, ясно. Просто там не указано, что семейство подмодулей- конечно.

-- 12.12.2012, 20:37 --

Все таки не понятно. Можно сослаться на неточность в Ленге или какой-то смысл в это таки можно вложить?

[fancier]

Цитата:

-модулей. А так, ясно. Просто там не указано, что семейство подмодулей- конечно.

Да, для конечных семейств модулей копроизведения и произведения "совпадают".

-- 12.12.2012, 20:43 --

Цитата:

Можно сослаться на неточность в Ленге или какой-то смысл в это таки можно вложить?

Издание, страницу можете привести?

-- 12.12.2012, 21:01 --

На странице 130 в английском издании на google books в этом месте используется обозначение $\oplus.$