Финитные и непрерывные функции

[dmitryf]

Доказать, что пространство все функций f(x) финитных и непрерывных на оси $(-\infty; \infty)$ с нормой $\|f\| = \sup\limits_{x \in (-\infty; \infty)}|f(x)|$ является неполныи и сепарабельным пространством.
Функция $f(x) \in R (-\infty; \infty)$ называется финитная, если она равна нулю, кроме конечного интервала.

На сколько я понимаю для доказательства неполноты нужно указать фундаментальную последовательность, которая будет сходится к функции не из этого пространства. На форуме видел, что пополнением для этого пространства будут непрерывные функции, стремящиеся к 0 на бесконечности. Если это так, не могли бы подробнее объяснить почему так?

На счет сепарабельности, возможно ли приблизить финитные функции многочленами с рациональными коэффициентами?

[ewert]

dmitryf в сообщении #656810 писал(а):

пополнением для этого пространства будут непрерывные функции, стремящиеся к 0 на бесконечности. Если это так, не могли бы подробнее объяснить почему так?

Это так, но это чуть-чуть более сильный факт, чем требуется. Достаточно того, что любая убывающая на бесконечности функция приближается финитными.

dmitryf в сообщении #656810 писал(а):

На счет сепарабельности, возможно ли приблизить финитные функции многочленами с рациональными коэффициентами?

Нет, но их можно приблизить кусочно-линейными функциями с рациональными параметрами.

[dmitryf]

ewert в сообщении #656901 писал(а):

dmitryf в сообщении #656810 писал(а):

пополнением для этого пространства будут непрерывные функции, стремящиеся к 0 на бесконечности. Если это так, не могли бы подробнее объяснить почему так?

Это так, но это чуть-чуть более сильный факт, чем требуется. Достаточно того, что любая убывающая на бесконечности функция приближается финитными.

А можете пояснить в чем разница? Как мне кажется при доказательстве используется просто тот факт, что финитная функция на своем интервале должна быть отлична от нуля, например, можно взять последовательность:

$$ f_n(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x<n$;}\\ \frac 1 x,&\text{если $n \leq x<n+1$;}\\ 0,&\text{если $x \geq n+1$.} \end{cases} $$

Но предела в пространстве финитных функций не имеет или я не прав?

[ewert]

dmitryf в сообщении #656994 писал(а):

А можете пояснить в чем разница?

Полнота множества функций, стремящихся к нулю на бесконечности -- утверждение более сильное: надо ещё доказывать, что последовательность таких функций, равномерно фундаментальная на всей оси, сходится именно к такой же функции. Это нетрудно, но всё же и не вполне тривиально. Для Ваших же целей это не нужно: достаточно очевидно, что любую такую функцию можно равномерно приблизить финитными (а если последовательность функций равномерно сходится к чему бы то ни было, то она автоматически равномерно фундаментальна). Более того, это утверждение достаточно проверить не для всех, а для хотя бы одной функции, стремящейся к нулю на бесконечности; ну, скажем, для $f(x)=\dfrac1{1+x^2}$ -- она очевидным образом приближается фундаментальной последовательностью финитных функций $f_n(x)=\max\{0,\,f(x)-\frac1n\}$.