Правило лопиталя

[randy]

$\lim_{x \to -1} {\frac {x}{x+1} - \frac {1}{\ln (x+2)}$
преобразуем к неопределенности вида $[\frac {\infty}{\infty}]$
$\lim_{x \to -1} \frac {x\ln (x+2) -x-1}{(x+1)(\ln (x+2))}$
вынесем общий член
$\lim_{x \to -1} \frac {x(\ln (x+2) -1)-1}{(x+1)(\ln (x+2))}$
продифференцируем
$\frac {(\ln (x+2)-1)x (\frac {1}{x+2})}{\ln (x+2)(x+1) \frac {1}{x+2}}=\frac {1}{0}=\infty$
Правильно?

[ewert]

randy в сообщении #656186 писал(а):

$\frac {(\ln (x+2)-1)x (\frac {1}{x+2})}{\ln (x+2)(x+1) \frac {1}{x+2}}=\frac {1}{0}=oo$

А знаете, почему справа оо? Это от изумления по поводу методов дифференцирования.

[Deggial]

randy, бесконечность пишется так: $\infty$

\infty

[randy]

как я брал производную
$\lim_{x \to -1} \frac {x(\ln (x+2) -1)-1}{(x+1)(\ln (x+2))}$
в числителе $-1$ можно отбросить как константу. Остается $x(\ln (x+2) -1)$. Дифференцируем как произведение

[ewert]

randy в сообщении #656193 писал(а):

$x(\ln (x+2) -1)$. Дифференцируем как произведение

Начинайте.

(хотя выносить за скобки было ни к чему, ну да хозяин барин)

[randy]

$x(\ln (x+2) -1)$
$1(\ln (x+2) -1)+x(\frac {1}{x+2})$

-- 09.12.2012, 15:40 --

плюс забыл)

-- 09.12.2012, 15:43 --

$[\frac {-2}{0}]$ ответ тот же

[gris]

Уже несколько раз тут пределы встречаю, в которых $x\to a\ne 0,\ne \infty$. Я сам всегда делаю замену $t=x-a$, хотя бы для упрощения выкладок.
В случае сдвига пример запишется как $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-1}{x}-\dfrac 1{\ln(x+1)}=\lim\limits_{x\to 0}1-\dfrac1{x}-\dfrac 1{\ln(x+1)}$, что намного проще.

[randy]

gris в сообщении #656208 писал(а):

Уже несколько раз тут пределы встречаю, в которых $x\to a\ne 0,\ne \infty$. Я сам всегда делаю замену $t=x-a$, хотя бы для упрощения выкладок.
В случае сдвига пример запишется как $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-1}{x}-\dfrac 1{\ln(x+1)}=\lim\limits_{x\to 0}1-\dfrac1{x}-\dfrac 1{\ln(x+1)}$, что намного проще.

ну, тот же ответ получается. он верен?

-- 09.12.2012, 16:10 --

откуда в преобразовании единица появилась?

-- 09.12.2012, 16:12 --

понял откуда, но зачем почленно делить, если $0-1=-1$

[ewert]

randy в сообщении #656196 писал(а):

$[\frac {-2}{0}]$ ответ тот же

Пока что нет -- пока что Вы с бардаком в знаменателе ещё не разобрались.

(Оффтоп)

В условии явная очипятка -- явно знак перед одним из слагаемых предполагался противоположным. Иначе условие смотрится нелепо: если уж складывать две бесконечности, то совершенно ни к чему их при этом ещё и выравнивать.

[randy]

ewert в сообщении #656253 писал(а):

randy в сообщении #656196 писал(а):

$[\frac {-2}{0}]$ ответ тот же

Пока что нет -- пока что Вы с бардаком в знаменателе ещё не разобрались.

(Оффтоп)

В условии явная очипятка -- явно знак перед одним из слагаемых предполагался противоположным. Иначе условие смотрится нелепо: если уж складывать две бесконечности, то совершенно ни к чему их при этом ещё и выравнивать.

а что в знаменателе не так?
$\ln (x+2)+(x+1) \frac {1}{x+2}=0+0\text {(blablabla)}=0

[ewert]

(Оффтоп)

randy в сообщении #656273 писал(а):

а что в знаменателе не так?
$\ln (x+2)+(x+1) \frac {1}{x+2}=0+0(блаблабла)=0

Сейчас-то так; а раньше?...

Кстати, "бла-бла-бла" следует окружать \text{...}.

[randy]

ewert в сообщении #656275 писал(а):

(Оффтоп)

randy в сообщении #656273 писал(а):

а что в знаменателе не так?
$\ln (x+2)+(x+1) \frac {1}{x+2}=0+0(блаблабла)=0

Сейчас-то так; а раньше?...

Кстати, "бла-бла-бла" следует окружать \text{...}.

а предел ведь равен бесконечности? это же ответ, а не неопределенность?

[ewert]

randy в сообщении #656279 писал(а):

? это же ответ, а не неопределенность?

Да это-то ответ. Только желательно, чтобы Вы требовали от себя при его выписывании ну хоть минимальную аккуратность. Чего пока что не наблюдается.

[randy]

хорошо, спасибо

[gris]

Ну вот и я после драки-то кулаками помашу. После замены просто явно видно то, что уже сказали: неопределённости нет. Если подкрадываемся к нулю слева, то складываются две плюс бесконечности, если справа, то две минус бесконечности. Наверное или икс лишний в числителе первой дроби, или знак перед логарифмом другой.