Доказать сходимость последовательности и найти предел

[stathome]

Нужно доказать, используя критерий Вейерштрасса( монотонная последовательность сходится, когда она ограничена) что последовательность, заданная рекуррентно сходится и найти её предел:

$$x_1=0, x_{n+1}=x_{n}+(x_{n}-c)^2, n\geqslant 1, c\in [0;1]$$

Монотонность вроде легко доказывается:
$x_{n+1}-x_n=(x_{n}-c)^2$
а так как $(x_{n}-c)^2 \geqslant 0$
то следовательно $x_{n+1}\geqslant x_{n}$
следовательно последовательность монотонно возрастает.

Но как доказать, что она ограничена сверху теперь?
мат. индукцией как-то не очень получается

[gris]

Вроде бы по индукции должно доказываться, если сделать разумное предположение. Там надо будет найти максимум трёхчлена, он достигается на концах. Может быть проще взять более грубую оценку сверху.

[ewert]

gris в сообщении #656116 писал(а):

Может быть проще взять более грубую оценку сверху.

Вряд ли проще -- скорее всего, вообще ничего не получится: эта последовательность сходится еле-еле.

stathome в сообщении #656104 писал(а):

Но как доказать, что она ограничена сверху теперь?

Поскольку она монотонна -- ограничена сверху она своим пределом. Предел последовательности (если предположить, что он существует) очевиден, вот эту оценку по индукции и доказывайте. Для этого достаточно представить рекуррентное соотношение в форме $x_{n+1}=f(x_n)$ и внимательно вглядеться в график функции $y=f(x)$. Учитывая при этом намёк:

gris в сообщении #656116 писал(а):

Там надо будет найти максимум трёхчлена, он достигается на концах.

[stathome]

Если предположить,что предел существует и он равен некоторому x, то переходя к пределу при n \to \infty получаем:
$x = x + (x - c)^2$
$(x - c)^2 = 0$
$x = c$
предел равен с
То есть последовательность ограничена сверху 1

Докажем это для n+1-го члена последовательности
$x_{n+1} \leqslant 1$
$x_{n}+(x_{n} - c)^2 \leqslant 1$
если взять максимальное $x_{n} = 1$ то получим, что
при с=1 неравенство выполняется, а это нас устарвиает раз $ c \in[0;1]$

как-то так?)

[ewert]

stathome в сообщении #656206 писал(а):

как-то так?)

Как-то совсем не так. Помимо того, что логика начисто отсутствует, это ещё и заведомо неверно: если бы вдруг оказалось, что очередной член меньше единицы, но при этом больше $c$ -- последовательность немедленно пошла бы вразнос.

Доказывайте, что общий член не превосходит именно $c$.

[EtCetera]

А разве тут не просто $(x_n-c)^2<c-x_n$ (при $0<x_n<c\le 1$)? Откуда и.