Сравнить два выражения

[Limit79]

$\frac{\ln(n)}{n}$ и $\frac{\ln(n+1)}{n+1}$ при $n \in [1;+ \infty)$

Как пробовал:
$\ln(n) < \ln(n+1)$, а $n<n+1$, но исходя из этого не могу понять, как сравнить два исходных выражения.

ps. Это в рядах получилось, признак Лейбница.

[Sonic86]

Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

[Limit79]

Sonic86
$\frac{\ln(n)}{n}$ возрастает на $(0;e)$, и убывает на $(e;+ \infty)$

$\frac{\ln(n+1)}{n+1}$ возрастает на $(0;e-1)$, и убывает на $(e-1;+ \infty)$

[nnosipov]

Limit79, Вы явно перевыполнили норму, речь шла об одной функции.

[Limit79]

Могу ли я взять точку $n>e$, например, $n=e+1$, сказать, что $\frac{\ln(e+1)}{e+1} > \frac{\ln(e+2)}{e+2}$, и исходя из этого сказать, что $\frac{\ln(n)}{n} > \frac{\ln(n+1)}{n+1}$ при $n \in [e+1;+ \infty]$?

С учетом промежутков монотонности.

-- 08.12.2012, 17:18 --

Или как использовать эти промежутки монотонности?

[nnosipov]

Можете. Но зачем? Вы же хотели что-то там сравнить. Вот и сравнивайте сразу. Зачем Вам $n=e+1$?

А, в новой редакции уже лучше.

[Limit79]

Limit79 в сообщении #655833 писал(а):

Sonic86
$\frac{\ln(n)}{n}$ возрастает на $(0;e)$, и убывает на $(e;+ \infty)$

$\frac{\ln(n+1)}{n+1}$ возрастает на $(0;e-1)$, и убывает на $(e-1;+ \infty)$

Или исходя из этого уже можно сказать, что $\frac{\ln(n)}{n} > \frac{\ln(n+1)}{n+1}$ на $(e;+ \infty )$ ? Общий член ряда $a_{n} = \frac{\ln(n)}{n}$, стремится к бесконечности.

И, исходя из этих двух утверждений, можно сказать, что по признаку Лейбница ряд сходится?

[nnosipov]

Limit79 в сообщении #655847 писал(а):

Или исходя из этого уже можно сказать, что $\frac{\ln(n)}{n} > \frac{\ln(n+1)}{n+1}$ на $(e;+ \infty )$ ?

Вот именно.

Limit79 в сообщении #655847 писал(а):

Общий член ряда $a_{n} = \frac{\ln(n)}{n}$, стремится к бесконечности.

[Limit79]

nnosipov

Ой, к нулю, разумеется, перепутал

Честно говоря, не очень понял, почему это можно утверждать... Мы доказали, что на некотором промежутке, обе функции убывают, но, допустим, сначала одна будет больше другой, а потом будет пересечение, и вторая будет больше первой, и при этом они обе будут убывать... или это я бред несу?

[nnosipov]

Товарищ, Вам что конкретно нужно? Вы говорите загадками.

[Limit79]

nnosipov
Нужно исследовать на условную сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{\ln(n)}{n}$

[nnosipov]

А, понятно. Ну, тогда осталось совсем чуть-чуть: доказать, что эта Ваша $a_n$ стремится куда надо. Но это, вообще-то, медицинский факт, который в теме "Ряды" можно просто констатировать.

[Limit79]

nnosipov
Что общий член ряда стремится к нулю? это я доказал, проблема во втором пункте: доказать, что $a_{n} > a_{n+1}$ ...

[nnosipov]

Limit79 в сообщении #655868 писал(а):

проблема во втором пункте: доказать, что $a_{n} > a_{n+1}$ ...

Вот как раз наоборот, Вы это доказали:

Limit79 в сообщении #655847 писал(а):

исходя из этого уже можно сказать, что $\frac{\ln(n)}{n} > \frac{\ln(n+1)}{n+1}$ на $(e;+ \infty )$

А вот то, что $\frac{\ln{n}}{n} \to 0$ при $n \to \infty$, Вы не доказали. Но здесь можно просто сказать: очевидно (см. тему "Пределы").

[Limit79]

nnosipov
Ой, я запутался сам, и запутал Вас, извините.

$f(n) = \frac{\ln(n)}{n}$ монотонно убывает на $(e;+ \infty )$, то есть $a_{n} > a_{n+1}$ .

Ну а предел можно Лопиталем, это я изначально знал