Легонькое неравенство

[shukshin]

$u^2v^2+2(u+v)\geqslant 4uv+1$
при $u, v\geqslant 1/2$
Доказать.

Были ли попытки? А как же. И попытка разложить на множители, и выделить полный квадрат - и даже "хитрое" усиление $(u + v)\geqslant 2\sqrt{uv} $, с последующей заменой.
Натолкните, пожалуйста, на идею. Наверняка ведь просто доказывается.

[nnosipov]

shukshin в сообщении #655778 писал(а):

Натолкните, пожалуйста, на идею.

А чем Вам не понравилось "хитрое" усиление?

[shukshin]

Хмм вот сейчас заново пересчитал, все вроде разложилось. С заменой $\sqrt{uv}=x$
Для получившегося многочлена четвертой степени решение методом интервалов вышло $(-\infty, -1-\sqrt{2}] \bigcup [-1+\sqrt{2}, \infty)$, а раз $x \geqslant \sqrt{(1/2) (1/2)}= 1/2$ и $1/2 \geqslant -1+\sqrt{2} $, то неравенство доказано, так?

[nnosipov]

Да, так.