Задача по теории вероятностей из сборника Ширяева

[Fritz the Cat]

Доброго времени суток! Я что-то застопорился на задаче №9.5 из сборника Ширяева:
Пусть $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ - бернуллиевские независимые случайные величины, принимающие равновероятно значения +1 и -1; $S_{n} = \xi_{1}+\ldots+\xi_{n}$.
Найти $P(\cup \limits_{N_{1} < n \leqslant N_{2}} \{S_{n} = 0\})$, т.е. вероятность того, что найдется такой момент $n$ в множестве $(N_{1} + 1, \ldots, N_{2})$, что $S_{n} = 0$.

Я начал ее решать так: пусть на момент $N_{1} + 1$ сумма $S$ имела какое-то значение $m$. После этого я хочу вычислять такую подзадачу: пусть у нас есть частица, слева от которой находится черта (на расстоянии $m$ шагов), а справа нет никаких ограничений; частица начинает на каждом шаге прыгать вправо или влево (равновероятно); надо найти вероятность, с которой частица за $N_{2} - N_{1} - 1$ шаг не достигнет черты. Но я не понимаю, как это сделать. Если бы я нашел эту вероятность, (обозначим ее $P_{m}$), то это далее $1-P_{m}$ -- это вероятность того, что искомый момент найдется, если $S_{N_{1} + 1} = m$. Ну и дальше по формуле полной вероятности.

Или же я на не очень правильном пути, и эту задачу нужно решать совсем по-другому?

[--mS--]

Fritz the Cat в сообщении #655706 писал(а):

После этого я хочу вычислять такую подзадачу: пусть у нас есть частица, слева от которой находится черта (на расстоянии $m$ шагов), а справа нет никаких ограничений; частица начинает на каждом шаге прыгать вправо или влево (равновероятно); надо найти вероятность, с которой частица за $N_{2} - N_{1} - 1$ шаг не достигнет черты. Но я не понимаю, как это сделать.

Предлагаю рассмотреть ещё и варианты правого конца (куда можно дойти выйдя из $m$ за нужное число шагов), и для каждого возможного варианта $k$ финишного состояния использовать принцип отражения (Феллер, 1-й том, параграф 2 главы III). Посчитать число всех путей из точки $m$ в точку $k$, потом число всех путей из точки $-m$ в точку $k$ (что в точности равно числу всех путей из $m$ в $k$, хоть раз побывавших на оси OX), и поделить второе на первое. Это и будет вероятность, выйдя из $m$, дойти до $k$, хоть раз побывав на оси OX.