ТФКП, существенно особые точки

[lega4]

Подскажите, существует ли функция с бесконечным множеством существенно особых точек? Если да, то следующий вопрос - существует ли функция с такой особой точкой, которая является предельной для существенно особых? А если и здесь "да", то мега-вопрос - функция, у которой множество существенно особых точек всюду плотно в каком-нибудь отрезке, к примеру, $[0,1]$. Почитал книжки на эту тему - что-то про это ни слова или я не туда смотрел. Или это очевидно как-то?

[ex-math]

Если множество особых точек всюду плотно, то классификация, разработанная для изолированных особых точек, не работает. По определению получается, что каждая точка такого отрезка будет особой. Здесь посмотрите про функции с естественными границами типа

$$ \sum_{n=0}^\infty z^{n!}. $$

По поводу первого вопроса -- устройте какой-нибудь ряд из $e^{1/z}$, например.

[lega4]

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}e^{ \frac{i}{z-\frac{1}{n}} }. $$

Что-то такое? $i$ в числителе, чтобы можно было легко и непринужденно доказать сходимость, по крайней мере, для вещественных $z$, не равных $1/n$...
А дальше мысль должна развиваться примерно так: "Рассматриваем эту функцию как функцию от вещественных аргументов. Можно показать, что она непрерывна и дифференцируема, скажем, при $z>1$. Ну а теперь ее можно аналитически продолжить, продолжим, получим функцию комплексного переменного, у которой точки $1/n$ являются существенно особыми, а точка 0 - предельной для существенно особых". Так?
Про плотное множество да, я загнул, ведь если оно плотно, то каждая особая точка будет не изолированной => уж явно не будет называться существенно особой.
Лакунарные функции... Красота какая) Спасибо.

[ex-math]

Да, можно так, и $i$ необязательно. Вне окрестностей особых точек слагаемые ограничены, так что ряд сходится равномерно.

С естественными границами много функций. Есть степенные ряды "с пропусками", как приведенный выше. Они непродолжаемы за границу круга сходимости. Есть еще такая $\eta$-функция Дедекинда, связанная с модулярной группой. У нее естественная граница -- вещественная ось.