Поиск фундаментального решения

[PoCTo]

Дан оператор (не знаю, есть ли понятие "оператор Штурма-Лиувилля")
$ L = -(x u')' + \frac{n^2}x u $
Требуется найти фундаментальное решение, то есть $u$ такое, что $Lu = \delta(x)$
Всё что я смог сделать - это раскрыть скобки, получилось
$-xu'' - u' + \frac{n^2}x u = \delta(x)$
Мысли такие:
Для линейных операторов с переменными коэффициентами в литературе не нашел никакого нормального способа искать фундаментальное решение.
Если домножить обе части на $x$, слева получится уравнение эйлера, а справа ноль, но решение такого дифура, вроде, не будет удовлетворять $Lu = \delta(x)$.
Нашел функцию Грина $G(x,s)$ для каких-нибудь краевых условий - может как-то через него можно найти фундаментальное решение?
Может можно как-то связать фунд. решение уравнения Эйлера, получающегося после домножения на $x$ с решением исходного?
Как поступить?

[Vince Diesel]

Уравнение с переменными коэффициентами, так что надо искать решение уравнения с правой частью $\delta(x-y)$. C точностью до решения однородного уравнения математика 8.0 дает

$$\Gamma(x,y)=\frac{\left(y^{2n}-x^{2n}\right) \theta (x-y)}{2n x^n y^n}.$$

[PoCTo]

А каким образом это может быть получено руками? Какое уравнение решалось, что появилось $y$? Хотя бы где можно про это почитать? Вот про функции Грина везде написано, а про фундаментальное решение не нашел

Фундаментальное решение, вроде бы, должно зависеть только от $x$, разве нет? Иначе непонятно, что такое $Lu(x,y) = \delta(x)$

[Vince Diesel]

Фундаментальное решение зависит от двух переменных $x$ и $y$. Оно удовлетворяет уравнению $L(x)\Gamma(x,y)=\delta(x-y)$, что дает $L(x)(G(x,\cdot),f)=f(x)$ для подходящих функций $f$. Только для уравнений с постоянными коэффициентами $\Gamma(x,y)=\Gamma(x-y)$ и тогда все cводится к случаю $y=0$.

Не пробовал, но думаю, что как-то так: выписать решение уравнения $-x(xu')'+n^2u=f(x)$ через интегралы и подставить вместо $f$ функцию $x\delta(x-y)$.

[ewert]

PoCTo в сообщении #655703 писал(а):

каким образом это может быть получено руками?

Это действительно частный случай оператора Штурма-Лиувилля. В общем случае $Lu=-(\alpha(x)\,u')'+p(x)u$ есть стандартная формула для фундаментального решения:

$G(x,y)=\dfrac{1}{\alpha w}\begin{cases}\varphi_1(x)\varphi_2(y) & \text{при }x\leqslant y, \\ \varphi_1(y)\varphi_2(x) & \text{при }x\geqslant y,\end{cases}$

где $\varphi_1(x),\ \varphi_2(x)$ -- любые два независимых решения и $w(x)=\begin{vmatrix}\varphi_1 & \varphi_2 \\ \varphi_1' & \varphi_2'\end{vmatrix}$ -- их вронскиан (если только я не перепутал знак). Вы уже опознали то уравнение как уравнение Эйлера -- вот и конструируйте.

[PoCTo]

я получил в таком виде функцию Грина для некоторых краевых условий; я ведь могу сказать, что она и является одним из фундаментальных решений уже без упоминания каких-либо условий?
Ведь при её поиске я как раз и подбирал некоторые значения констант, получал два независимых решения, а потом использовал именно такую формулу с вронскианом...

[ewert]

PoCTo в сообщении #657803 писал(а):

я получил в таком виде функцию Грина для некоторых краевых условий;

Наличие граничных условий лишь заставляет выбирать в качестве $\varphi_+,\;\varphi_-$ нечто конкретное, но дельта-функция возникает независимо от того, что это за решения. Это видно хотя бы из того, что любая пара решений хоть каким-то граничным условиям да удовлетворяет.

[Singular]

PoCTo в сообщении #655635 писал(а):

Дан оператор
$ L = -(x u')' + \frac{n^2}x u $
Требуется найти фундаментальное решение, то есть $u$ такое, что $Lu = \delta(x)$
...
Как поступить?

Не знаю, актуален ли вопрос до сих пор, но фундаментальное решение $u(x,\xi)$, удовлетворяющее условию $Lu(x,\xi)=\delta(x-\xi)$, будет иметь вид
$u(x,\xi)=-\theta(x-\xi)\dfrac{1}{2n}\left[\left(\dfrac{x}{\xi}\right)^n-\left(\dfrac{x}{\xi}\right)^{-n}\right]=-\theta(x-\xi)\dfrac{1}{n}\sh\left(n\ln\left(\dfrac{x}{\xi}\right)\right)$,
где $\theta(x-\xi)$ - единичная функция Хевисайда.