Ряд с двойным факториалом

[Limit79]

Исследовать на сходимость:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!!}{1 \cdot 4 \cdot 7 ... (3n-2)}$

Обычно, когда факториал, используют признак Даламбера, но тут не получается с ним...

-- 08.12.2012, 00:04 --

Хотя, наверное получится по Даламберу, но не могу понять, как разбить факториал, чтобы сократить его.

[gris]

Не получается? В двойном факториале добавляется один сомножитель и внизу один. Они же и остаются после сокращения.
Не запамятовали ли вы, что такое двойной факториал? Здесь — произведение всех чётных чисел от и до. Если бы это было два одиночных факториала, числитель бы рос непомерно сильнее знаменателя.

[Limit79]

gris
А зачем?

Я вот так делал:

$a_{n} = \frac{(2n)!!}{(3n-2)}$

$a_{n+1} = \frac{(2n+2)!!}{(3n+1)}$

$\frac{(2n+2)!! (3n-2)}{(3n+1) (2n)!!}$

Чтобы найти предел этого выражения, нужно куда-то факториал деть, сократить, как это обычно бывает, но не могу понять, как разбивать на множители двойные факториалы.

Ну а ряд расходится, это сразу видно.

-- 08.12.2012, 00:18 --

Я вот что нашел, только желательно бы без формулы Стирлинга, если это возможно.

[gris]

Я увидел, что он не расходится.
А куда вы дели в знаменателе 1, 4, 7 и тд?
Напишите нескодько первых членов ряда и поймёте всё.

$6!! =2\cdot 4\cdot 6$

$8!! =2\cdot 4\cdot 6\cdot 8$

[Limit79]

gris
$2, 2, \frac{12}{7}...$ - не наводит на мысли.

Единственная мысль в том, что в знаменателе тоже получается факториал.

[mark_sandman]

Пробовали применить признак Раабе?

[gris]

Может быть я чего не вижу

$\dfrac {2}{1}+\dfrac {2\cdot 4}{1\cdot 4}+\dfrac {2\cdot 4\cdot 6}{1\cdot 4\cdot 7}+\dfrac {2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}{1\cdot 4\cdot 7\cdot 10}+...$

Вот знаменатель пошёл на обгон.

[Limit79]

mark_sandman
Там же тоже предел надо вычислять.

gris
Я выписал несколько членов для $(2n)!!$, и понял, что $(2n)!! = 2^n \cdot n!$, а вот для $(2n+2)!!$ не могу сообразить...

[mark_sandman]

Цитата:

используют признак Даламбера, но тут не получается с ним...

Эта фраза меня сбила с толку, всё там получается
$\[(2n + 2)!! = (2n)!! \cdot (2n + 2)\]$

[Limit79]

mark_sandman
Спасибо. Теперь вопрос в том, к какому виду привести знаменатели.

[mark_sandman]

$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{(2n)!! \cdot (2n + 2)}}{{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot ... \cdot (3n - 2) \cdot (3n + 1)}} \cdot \frac{{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot ... \cdot (3n - 2)}}{{(2n)!!}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 2}}{{3n + 1}} = \frac{2}{3} < 1\]$

Ряд сходится

[Limit79]

mark_sandman
А как Вы вывели, что знаменатель для $a_{n+1}$ будет $1 \cdot 4 \cdot 7 ... \cdot (3n-2) \cdot (3n+1)$ ?

-- 08.12.2012, 01:11 --

Сорри, туплю, понял.