Каноническое уравнение кривой

[Ylyasha]

Помогите пожалуйста привести к каноническому виду уравнение кривой, используя теорию квадратичных форм, и определить её тип
$\[x^2 - 2xy + 5y^2 + 2x + 14y + 13 = 0\]$
Нахожу так
Матрица этой квадратичной формы имеет вид
$\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} \\ { - 1} & 5 \\ \end{array} } \right) \] $
Составим характеристическое уравнение матрицы
$\[ \begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}c} {1 - \lambda } & { - 1} \\ { - 1} & {5 - \lambda } \\ \end{array} } \right| = (1 - \lambda )(5 - \lambda ) - 1 = 5 - 6\lambda + \lambda ^2 - 1 = \lambda ^2 - 6\lambda + 4 = 0 \hfill \\ D = 36 - 4*4 = 20 \hfill \\ \lambda _1 = \frac{{6 - 2\sqrt 5 }} {2} = 3 - \sqrt 5 ;\lambda _2 = \frac{{6 + 2\sqrt 5 }} {2} = 3 + \sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \] $
$\[ \begin{gathered} \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {(1 - 3 + \sqrt 5 )\alpha _1 - \alpha _2 = 0;} \\ { - \alpha _1 + (5 - 3 + \sqrt 5 )\alpha _2 = 0} \\ \end{array} } \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\alpha _2 = (2 - \sqrt 5 )\alpha _1 ;} \\ { - \alpha _1 + (2 + \sqrt 5 )(2 - \sqrt 5 )\alpha _1 = 0} \\ \end{array} } \right. \to \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\alpha _2 = (2 - \sqrt 5 )\alpha _1 ;} \\ {} \\ \end{array} } \right. \hfill \\ \end{gathered} \] $
Нормируя полученные векторы, имеем $\[ x_{\alpha 2} = ( - \frac{{31}} {{\sqrt {970} }},\frac{3} {{\sqrt {970} }}) \] $
Таким образом, матрица преобразования координат:
$\[ T = \left| {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - \frac{{31}} {{\sqrt {970} }}} \\ 0 & {\frac{3} {{\sqrt {970} }}} \\ \end{array} } \right| \] $
Наверно где-то сделала ошибку...Помогите пожалуйста...

[cool.phenon]

Эх, не по порядку анализ проводите.
1.Вырожденная или нет кривая
2.Тип кривой.

Уже на 2 шаге,если кривая невырожденная, можно написать каноническое уравнение без линейного преобразования. Полуоси вашего эллипса (вроде бы не ошибаюсь ) равны собственным числам,корням уравнения.

[Ylyasha]

Проверила. Кривая невырожденная. Определитель равен -16.
$\[ \Delta = \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} & 1 \\ { - 1} & 5 & 7 \\ 1 & 7 & {13} \\ \end{array} } \right| = - 16 \]$

[cool.phenon]

Ну теперь раз вы знаете корни характеристического уравнения, то можете сразу писать уравнение кривой в канонических координатах

[alcoholist]

cool.phenon в сообщении #655689 писал(а):

раз вы знаете корни характеристического уравнения, то можете сразу писать уравнение кривой в канонических координатах

сразу не получится, вот как в примере $x^2-4y^2+5x-7y+500=0$

[Ylyasha]

Формулы преобразования осей координат имеют вид
$\[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{{31}} {{\sqrt {970} }}y'; \hfill \\ y = \frac{2} {{\sqrt 5 }}y'; \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left( { - \frac{{31}} {{\sqrt {970} }}y'} \right)^2 - 2 \cdot \left( { - \frac{{31}} {{\sqrt {970} }}y'} \right) \cdot \frac{2} {{\sqrt 5 }}y' + 2 \cdot \left( { - \frac{{31}} {{\sqrt {970} }}y'} \right) + 14 \cdot \frac{2} {{\sqrt 5 }}y' + 13 = 0; \hfill \\ \frac{{31^2 }} {{970}} \cdot \left( {y'} \right)^2 + \frac{{4 \cdot 31}} {{\sqrt {970 \cdot 5} }} \cdot \left( {y'} \right)^2 - \frac{{62}} {{\sqrt {970} }} \cdot y' + \frac{{28}} {{\sqrt 5 }} \cdot y' + 13 = 0; \hfill \\ \left( {y'} \right)^2 \cdot \left( {\frac{{961}} {{970}} + \frac{{124}} {{\sqrt {48} 50}}} \right) - y' \cdot \left( {\frac{{62}} {{\sqrt {970} }} + \frac{{28}} {{\sqrt 5 }}} \right) + 13 = 0; \hfill \\ 2,77 \cdot \left( {y'} \right)^2 - 14,5 \cdot y' + 13 = 0; \hfill \\ \end{gathered} \] $

[cool.phenon]

Цитата:

сразу не получится, вот как в примере

Ну да, обознался, сначала нужно избавиться от линейных членов с помощью параллельного переноса.

[Ylyasha]

А как это сделать ?

[cool.phenon]

Найти центр фигуры. Взять частные производные уравнения по иксу и игреку. Оба выражения приравнять к нулю. А потом совершить параллельный перенос в полученную точку