Неулучшая оценка

[Falex]

Как вообще доказывается,что оценка неулучшаема, т.е. некоторой другой функции, которая лучше приближает многочлен. Например, дан многочлен $P(z)=c_0+c_1 z^1 + \dots + c_d z^d$.
Берем следующую дробь

$$ \rho_n(p;z) = \sum_{k=1}^{n} \frac{z_k^{-p}}{z - z_k}, $$

где $p \geqslant 0$ - целое число, $z_k \ne 0$.
Можно показать, что дробями $N \rho_n(p;z)$ можно сколь угодно близко приблизить в любом круге $\{|z| < r\}$ (что такое $r$ см. ниже)многочлен $P(z)$, где $N,n$ фиксированы, сделав $N$ достаточно большим.
Я делаю так: записываю дробь в окрестности нуля в таком виде

$$ \rho_n(p,z) = \sum_{k=1}^n \lambda_k^{p+1} h(\lambda_k z) = -\sum_{m=0}^{\infty} S_{p+1+m} z^m,\quad h(z) = \frac{1}{z-1}, $$

где $\lambda_k = 1/z_k$, $S_m = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k^m$.
Далее полагаю так:

$$ S_{p+1+m}=-\frac{c_m}{N},\quad m=0,\dots,d $$

$$ S_{p+1+m} = 0, m=d+1,\dots,n-p-1 $$

А степенные суммы $S_{p+1+m}$ с большими номерами оцениваются так (это у меня доказано):

$$ |S_{p+1+m}| \leqslant \sum_{k=1}^n |\lambda_k|^m \le n r^{-m},\quad r=\frac{1}{2a},\quad m \geqslant n-p, $$

где $a>0$-некоторое число, т.ч.

$$ |S_m| \leqslant a^m,\quad m=0,\dots,d. $$

Далее оцениваю остаток:

$$ |r_n(z)| =|N \rho(p;z) - P(z)|= |\sum_{m=n-p}^{\infty} S_{p+1+m} z^m| \leqslant n r^{-(p+1+m)} z^m. $$

И все. А как показать, что оценка неулучшаема, т.е. $N \rho(p;z)$ наилучшим образом приближает многочлен: не знаю (

P.S: $\lambda_k$, $k=1,\dots,n$ определяются из следующего уравнения

$$ \lambda^n - \sigma_1 \lambda^{n-1} + \sigma_2 \lambda^{n-2} + \dots + (-1)^n \sigma^n = 0, $$

где $\sigma_k$ находятся по рекуррентым формулам Ньютона ($\sigma_1 = S_1$) и оцениваются так: $|\sigma_k| \leqslant a^k$