Можете пояснить вот этот пассаж?
Могу.
В глобальной инерциальной системе
координат
рассмотрим две покоящиеся относительно этой системы координат пробные частицы

и

.
Давайте вычислим расстояние между этими частицами в некоторой системе
отсчёта. Заодно покажем некотрым чем же отличаются системы координат от систем отсчёта.
Система отсчёта задаётся репером

- четырьмя векторными полями. Векторное поле

задаёт в каждой точке пространства событий вектор касательной к времениподобной мировой линии каждого точечного наблюдателя этой системы отсчёта. Три остальных векторных поля

в каждой точке задают три пространственных направления этой системы отсчёта.
Для вычисления трёхмерных расстояний в этой системе отсчёта нужно определить трёхмерный метрический тензор. Расстояния зависят от системы отсчёта, в другой системе отсчёта будет другой трёхмерный метрический тензор.
Для определения трёхмерного метрического тензора нужен корепер

.


Четырёхмерная метрика пространства событий выражается через корепер

следующей формулой

Трехмерная метрика пространства в этой системе отсчёта находится из следующей системы дифференциальных связей:


Давайте вычислим расстояние между точками

и

в глобальной инерциальной системе
отсчёта.
Легко видеть, что ей соответствует корепер с

, а трёхмерные расстояния в этой системе отсчёта как раз и будут задаваться введённым ранее трёхмерным метрическим тензором


Трёхмерное расстояние между точками

и

в этой системе отсчёта будет

Так как

зависит от времени, то и расстояние

тоже, в общем случае, зависит от времни.
Вот так и получается, что расстояние между частицами неподвижными относительно глобальной инерциальной системы координат может зависеть от времени.
-- 07.12.2012, 19:12 --Согласен, только у Рашевского не геодезическая рассматривается, а вообще любая кривая.
Ну так это ещё круче.
То есть для каждой кривой нужно переходить в
разные системы координат что бы занулить

, а у вас я так понял ноль для всех времениподобных геодезических.
У нас тут два параллельных спора. Спор про зануление связностей вдоль кривой не относится к спору про глобальную инерциальную систему координат.
Вот тут нифига не понятно. Где решение, вижу только ответ?
То есть что нужно сделать: взять метрику, посчитать связности, подставить в уравнения геодезических, решить, написать ответ.
Ну если Вам не понятно через уравнение Гамильтона-Якоби, то могу показать чуть более сложный другой способ. Через уравнения Гамильтона.




Легко видеть, что существует решение

,

. Покоящиеся частицы остаются в состоянии покоя бесконечно долго. Что и требовалось доказать.
Через уравнение геодезических - самый длинный способ это доказывать. Через систему уравнений Гамильтона короче. А через уравнение Гамильтона-Якоби - всех короче, там вообще очевидно (если действие не зависит от

, значит частицы в этой системе координат неподвижны).