Норма оператора

[MettPoiss]

Чему равна норма оператора $A:L_2(R) \to L_2(R) $ $ Af = \cos(x) f(x-1)$.

Оценил норму $||A|| = \sup \frac {||Af||} {||f||} \leqslant 1 $. Как показать неравенство в обратную сторону? Обратим ли этот оператор, компактен ли?

[g______d]

Если $A=BU$, где $U$ --- унитарный, то что можно сказать про связь норм $A$ и $B$?

[ewert]

MettPoiss в сообщении #654629 писал(а):

Как показать неравенство в обратную сторону?

Не надо в обратную, просто покажите, что эта оценка точна. Для этого достаточно в качестве эф рассмотреть функции, носители которых (после соотв. сдвига) сосредоточены в сколь угодно малой окрестности точки максимума косинуса (неважно которой -- скажем, нуля).

[zhoraster]

По моему убеждению, через унитарность - это тупиковый путь, по крайней мере на данной стадии овладения материалом.

Тут надо сообразить, что именно оператор делает с функцией. Тогда и насчет компактности, и насчет нормы станет проясняться. (Ну вот, пока писал, тут все карты раскрыли.)

[MettPoiss]

$\textbf {ewert}$ , спасибо.
Взял последовательность функций ${f_n}$ таких, что${f_n}$ равна на $[1,1+\frac 1 n]$ $f_n = 1$, а на всем остальном равна 0, затем получаю последовательность сходящуюся к 1.

А как поступить с компактностью?

[zhoraster]

А как Вы понимаете компактность?

[ewert]

MettPoiss в сообщении #654823 писал(а):

А как поступить с компактностью?

Т.е. с обратимостью, надо полагать, всё понятно.

Вспомните определение компактности оператора -- и постройте, например, ограниченную последовательность, образ которой был бы ортонормирован.