Какая линия определяется уравнением

[sly]

День добрый.

Задачка смехотворная - ответ очевиден, но как подходить - понятия не имею.

Цитата:

Какая линия определяется уравнением $y=x$ ?

Ответ дан такой: биссектриса I и III координатных углов.
Это тоже понятно. Но меня почему-то клонит к использованию для определения полярных координат. В общем, решил зайти сюда.

[gris]

А что мешает перейти к полярным координатам и решить простенькое уравнение?

[Mathusic]

sly в сообщении #654713 писал(а):

Задачка смехотворная - ответ очевиден, но как подходить - понятия не имею.

В прямоугольных.
Искомую биссектрису можно определить как прямую, проходящую через начало координат и составляющую угол в $45^{\circ}$ с положительным направлением оси $x$.
Теперь, рассмотрев произвольную точку, удовлетворяющую уравнению $x=y$, можно легко доказать, что эта точка является вершиной некоторого квадрата, построенного на осях с еще одной из вершин - началом координат.
И так, у нас есть две точки - искомая и начало координат, через них проходит единственная прямая, причем эта самая прямая по предыдущим нашим соображениям должна быть биссектрисой квадрата, то есть составлять $45^{\circ}$ c положительным направлением оси $x$.
Но это ведь и есть наша искомая прямая!

[sly]

Mathusic в сообщении #654721 писал(а):

В прямоугольных.
Искомую биссектрису можно определить как прямую, проходящую через начало координат и составляющую угол в $45^{\circ}$ с положительным направлением оси $x$.
Теперь, рассмотрев произвольную точку, удовлетворяющую уравнению $x=y$, можно легко доказать, что эта точка является вершиной некоторого квадрата, построенного на осях с еще одной из вершин - началом координат.
И так, у нас есть две точки - искомая и начало координат, через них проходит единственная прямая, причем эта самая прямая по предыдущим нашим соображениям должна быть биссектрисой квадрата, то есть составлять $45^{\circ}$ c положительным направлением оси $x$.
Но это ведь и есть наша искомая прямая!

Задачу я всё-таки решил с совета grisа. Всем спасибо

Насчет доказательства выше... Я плохо знаком с доказательствами, так как в школе доказывать, кроме как в геометрических задачах, нечего. У меня же вопрос по

Цитата:

...можно легко доказать, что эта точка является вершиной некоторого квадрата, построенного на осях с еще одной из вершин - началом координат.

Как доказать?
Кстати, я случайно обмолвился, что ответ был дан, но на самом деле он не был. Дано было лишь условие.

[Mathusic]

sly в сообщении #654737 писал(а):

Как доказать?

Равны проекции на оси - а это смежные стороны параллелограмма по построению с прямым углом, ибо система координат -- прямоугольная...

[gris]

Кроме всего, надо ещё и показать и обратное, что каждая точка найденной прямой будет удовлетворять уравнению.
Обычно подобные вещи доказываются для целого класса уравнений/кривых.
Тип системы координат обычно выбирают такой, чтобы в нём уравнение линии или поверхности было наиболее пригодным для требуемых расчётов.