Комплексные числа

[Aden]

Здравствуйте. Помогите разобраться.
Нужно вычислить $\[\left( {1 - 2i} \right)^3 - \frac{{4i}}{{4 - 3i}}\]$
Первое слагаемое разлажит по формуле куба разности
$\[ \begin{gathered} \left( {1 - 2i} \right)^3 = 1 - 3 \cdot 3i + 3 \cdot 1 \cdot \left( {2i} \right)^2 - \left( {2i} \right)^3 = 1 - 6i - 12 - 8i = 2i - 11; \hfill \\ \left( {1 - 2i} \right)^3 - \frac{{4i}} {{4 - 3i}} = \frac{{\left( {2i - 11} \right) \cdot (4 - 3i) - 4i}} {{4 - 3i}} = \frac{{8i + 6 - 44 + 33i}} {{4 - 3i}} = \frac{{41i - 38}} {{4 - 3i}}; \hfill \\ \end{gathered} \] $
Можете посмотреть где я допустил ошибку...

[ewert]

В первой строчке всё верно (не считая того, что Вы там решительно всё перепутали, за исключением ответа). А во второй -- минус исходный числитель выписали, но потом зачем-то выпустили его на волю. Кроме того, дело надо всё-таки доводить до конца.

[Aden]

Ошибку допустил
$ \[ \left( {1 - 2i} \right)^3 = 1 - 3 \cdot 2i + 3 \cdot 1 \cdot \left( {2i} \right)^2 - \left( {2i} \right)^3 = 1 - 6i - 12 - 8i = 2i - 11; \] $
Но дальше как быть ?
$\[\left( {1 - 2i} \right)^3 - \frac{{4i}} {{4 - 3i}} = \frac{{41i - 38}} {{4 - 3i}}; \]$

[nikvic]

Aden в сообщении #654293 писал(а):

Но дальше как быть ?

Домножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое к знаменателю.

[ewert]

Aden в сообщении #654293 писал(а):

Ошибку допустил
$ \[ \left( {1 - 2i} \right)^3 = 1 - 3 \cdot 2i + 3 \cdot 1 \cdot \left( {2i} \right)^2 - \left( {2i} \right)^3 = 1 - 6i - 12 - 8i = 2i - 11; \] $

И всё ещё так до конца и не исправили, но это-то не суть. А суть в том, то Вы те четыре мнимых единички до сих пор зачем-то гордо игнорируете. Деление -- это уже после, после.

[Aden]

$\[ \left( {1 - 2i} \right)^3 - \frac{{4i}} {{4 - 3i}} = \frac{{(4i - 38)\left( {4 + 3i} \right)}} {{(4 - 3i)(4 + 3i)}} = \frac{{164i - 275 - 114i}} {{16 + 9}} = \frac{{50i - 275}} {{25}} = 2i - 11; \] $
Получается так ?

[nikvic]

Не, на арифметику я не способен

[venco]

Aden в сообщении #654311 писал(а):

$\[ \left( {1 - 2i} \right)^3 - \frac{{4i}} {{4 - 3i}} = \frac{{(4i - 38)\left( {4 + 3i} \right)}} {{(4 - 3i)(4 + 3i)}} = \frac{{164i - 275 - 114i}} {{16 + 9}} = \frac{{50i - 275}} {{25}} = 2i - 11; \] $
Получается так ?

Точно не так, т.к. должно получиться нецелое число.

-- Вт дек 04, 2012 14:47:55 --

И вообще, зачем вы сначала сводили всё в одну дробь? Почему бы не разобраться с кубом и дробью отдельно?

[ewert]

Aden в сообщении #654311 писал(а):

Получается так ?

Не получается. Вы по-прежнему с упорством, достойным лучшего применения, неверно приводите к общему знаменателю.

Кстати, выгоднее было бы и вообще не приводить, а просто вычислить последнюю дробь и потом уж привести подобные. Это с практической точки зрения. Но для Вас, в порядке тренировки -- полезнее всё-таки к общему знаменателю привести. Только делать это надо честно.

[Aden]

А если так ?
$ \[ \begin{gathered} \frac{{4i}} {{4 - 3i}} = \frac{{4i \cdot (4 + 3i)}} {{(4 - 3i)(4 + 3i)}} = \frac{{16i - 12}} {{25}}; \hfill \\ 2i - 11 - \frac{{16i - 12}} {{25}} = \frac{{25 \cdot \left( {2i - 11} \right) - 16i + 12}} {{25}} = \frac{{50i - 275 - 16i + 12}} {{25}} = \frac{{34i - 263}} {{25}}; \hfill \\ \end{gathered} \] $

[ИСН]

Ну наконец-то.

[Aden]

[ewert]

А к общему знаменателю всё-таки приведите для сравнения. Нехорошо такие глюки допускать. Тем более что Вы к ним склонны -- так и должны же понимать, что доверять самому себе на первое слово нельзя, перепроверять надобно.

[Aden]

Можете помочь еще с одним:
$ \[ \left( {\frac{{1 + i\sqrt 3 }} {{1 - i}}} \right)^{20} \] $
Домножил на сопряженное знаменателя
$\[ \frac{{1 + i\sqrt 3 }} {{1 - i}} = \frac{{(1 + i\sqrt 3 )(1 + i)}} {{(1 - i)(1 + i)}} = \frac{{1 + i + i\sqrt 3 - \sqrt 3 }} {2}; \] $
Либо как-то по другому можно сделать ?

[ewert]

Aden в сообщении #654362 писал(а):

Либо как-то по другому можно сделать ?

Либо как-то в тригонометрической/показательной форме. Но сначала с предыдущим примером разберитесь до конца.

Вам кажется, что Вы его поняли. Ага, щаз. Так и будете спотыкаться на всех следующих кочках, пересдавая зачёт восемнадцать раз.